【博弈论】翻硬币游戏8种模型
翻硬币游戏
一般的翻硬币游戏的规则是这样的:
N 枚硬币排成一排,有的正面朝上,有的反面朝上。我们从左开始对硬币按1 到N 编号。
第一,游戏者根据某些约束翻硬币,但他所翻动的硬币中,**最右边那个硬币的必须是从正面翻到反面。**例如,只能翻3个硬币的情况,那么第三个硬币必须是从正面翻到反面。如果局面是正正反,那就不能翻硬币了,因为第三个是反的。
第二,谁不能翻谁输。
有这样的结论:局面的SG 值为局面中每个正面朝上的棋子单一存在时的SG 值的异或和。即一个有k个硬币朝上,朝上硬币位置分布在的翻硬币游戏中,**SG值是等于k个独立的开始时只有一个硬币朝上的翻硬币游戏的SG值异或和。比如THHTTH这个游戏中,2号、3号、6号位是朝上的,它等价于TH、TTH、TTTTTH三个游戏和,即sg[THHTTH]=sg[TH]⨁sg[TTH]⨁sg[TTTTTH].**我们的重点就可以放在单个硬币朝上时的SG值的求法。
约束条件一:每次只能翻一个硬币。
一般规则中,所翻硬币的最右边必须是从正面翻到反面,因为这题是只能翻一个硬币,那么这个硬币就是最右边的硬币,所以,每次操作是挑选一个正面的硬币翻成背面。
对于任意一个正面的硬币,SG值为1。
有奇数个正面硬币,局面的SG值 == 1,先手必胜,有偶数个正面硬币,局面的SG值 == 0,先手必败
约束条件二:每次能翻转一个或两个硬币。(不用连续)
每个硬币的SG值为它的编号,初始编号为1,可以转化为NIM游戏
如果对于一个局面,把正面硬币的SG值异或起来不等于0,既a1 ^ a2 ^ a3 ^ … ^ an == x,
那么玩家必然可以通过翻转一个或两个硬币使得异或和为0
证明:不妨设x的二进制表示中最高一位1在第k位,那么在a1,a2,…,an中,必然有一个数ai,它的第k位是1,且ai’ = ai ^ x<ai,
如果 ai’ == 0,意思就是说,把 ai 这个值从式子中去掉就可以了。对应游戏,就是把编号为ai’的正面硬币翻成背面就可以了。
如果ai’ !=0,意思就是说,把 ai 这个值从式子中去掉后再在式子中加上ai’。对应游戏,去掉ai’就是把编号为ai的正面硬币翻成背面,加上ai’ ,如果编号为ai’ 的硬币是正面,我们就把它翻成背面,是背面就翻成正面,总之,就是翻转编号为ai’ 的硬币。
约束条件三:每次必须连续翻转k个硬币。
可以转化为巴什博弈
我们计算的是个数为N的硬币中,当中最后一个硬币为正面朝上,的sg值。
当N==1时。硬币为:正,先手必输,所以sg[1]=0。
当N==2时,硬币为:反正。先手必输,所以sg[2]=0。
当N==3时,硬币为:反反正,先手必胜。所以sg[3]=1。
当N==4时,硬币为:反反反正。先手操作后为:反正正反,子状态局面的SG=0^1=1,那么sg[4]=0。
当N==5时,硬币为:反反反反正。先手操作后为:反反正正反。子状态局面的SG=1^0=1。那么sg[5]=0。
当N==6时,硬币为:反反反反反正。先手操作后为:反反反正正反。子状态局面的SG=0^0=0。那么sg[6]=1。
依据观察,能够知道:从编号为1开始,sg值为:001 001 001 001……
依据观察,能够知道,sg的形式为000…01 000…01,当中一小段0的个数为k-1。
约束条件4:每次翻动一个硬币后。必须翻动其左侧三个硬币中的一个,即翻动第x个硬币后。必须选择x-1。x-2,x-3中的当中一个硬币进行翻动,除非x是小于等于3的。(Subtraction Games)
还是可以转化为类似巴什博弈的模型
当N == 1时,硬币为:正,先手必赢,所以sg[1]=1。
当N == 2时。硬币为:反正,先手必赢,由于先手能够翻成反反或正反。可能性为2。所以sg[2] == 2。
当N == 3时,硬币为:反反正,先手操作后能够为:反正
位置x:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14…
sg[x]: 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2…
这个与每次最多仅仅能取3个石子的取石子游戏的SG分布一样,相同还有相似的这类页游游戏,约束条件5也是一样。
约束条件5:每次必须翻动两个硬币,并且这两个硬币的距离要在可行集S={1,2,3}中。硬币序号从0开始。(Twins游戏)
当N == 1时,硬币为:正,先手必输,所以sg[0]=0。
当N == 2时,硬币为:反正,先手必赢。所以sg[1]=1。
当N == 3时。硬币为:反反正。先手必赢,所以sg[2]=2。
当N == 4时,硬币为:反反反正,先手必赢,所以sg[3]=3。
当N == 5时。硬币为:反反反反正,先手必输,所以sg[4]=0。
位置x:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14…
sg[x]: 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2…
约束条件6:每次能够翻动一个、二个或三个硬币(Mock Turtles游戏)
初始编号从0开始。
当N==1时。硬币为:正,先手必胜,所以sg[0]=1.
当N==2时,硬币为:反正,先手必赢,先手操作后可能为:反反或正反,方案数为2,所以sg[1]=2。
当N==3时,硬币为:反反正。先手必赢,先手操作后可能为:反反反、反正反、正反正、正正反。方案数为4。所以sg[2]=4。
位置x:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14…
sg[x]: 1 2 4 7 8 11 13 14 16 19 21 22 25 26 28…
看上去sg值为2x或者2x+1。
下面引入一个概念:我们称一个非负整数为odious,当且仅当该数的二进制形式的1出现的次数是奇数,否则称作evil。
所以1,2,4,7是odious,因为它们的二进制形式是1,10,100,111。而0,3,5,6是evil,由于它们的二进制形式是0,11,101,110。
而上面那个表中。貌似sg值都是odious数。所以当2x为odious时,sg值是2x,当2x是evil时。sg值是2x+1.
这样怎么证明呢?我们会发现发现:
evil ^ evil = odious ^ odious = evil
evil ^ odious = odious ^ evil = odious
如果刚才的假说是成立的,我们想证明下一个sg值为下一个odious数。注意到我们总能够在第x位置翻转硬币到达sg为0的情况;通过翻转第x位置的硬币和两个其他硬币。我们能够移动到全部较小的evil数,由于每一个非零的evil数都能够由两个odious数异或得到。可是我们不能移动到下一个odious数,由于不论什么两个odious数的异或都是evil数。
假设在一个Mock Turtles游戏中的首正硬币位置x1,x2,…,xn是个P局面。即sg[x1]…sg[xn]=0.那么无可置疑的是n必然是偶数,由于奇数个odious数的异或是odious数,不可能等于0。而由上面可知sg[x]是2x或者2x+1,sg[x]又是偶数个,那么x1 ^ x 2 ^ …^ xn = 0。相反,假设x1 ^ x 2 ^ … ^ xn = 0且n是偶数,那么sg[x1] ^ … ^ sg[xn]=0。这个假设不太理解的话,我们能够先这么看下:2x在二进制其中相当于把x所有左移一位,然后补零,比方说2的二进制是10。那么4的二进制就是100。而2x+1在二进制其中相当于把x所有左移一位,然后补1,比方说2的二进制是10,5的二进制是101。如今看下sg[x1] ^ … ^ sg[xn]=0,由于sg[x]是2x或者2x+1。所以式子中的2x+1必须是偶数个(由于2x的最后一位都是0,2x+1的最后一位都是1,要最后异或为0,2x+1必须出现偶数次),所以:MT游戏其中的P局面是拥有偶数堆石子的Nim游戏的P局面。
其实只需要记住MT游戏中每个位置的sg为对应的odious数(2x或2x+1)即可
约束条件7:每次能够连续翻动随意个硬币,至少翻一个。(Ruler游戏)
初始编号从1开始。
那么这个游戏的SG函数是g(n)=mex{0,g(n-1),g(n-1) ^ g(n-2),…,g(n-1) ^ … ^ g(1)}
依据SG函数能够得到SG值表例如下:
位置x:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16…
g(x): 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16…
所以sg值为x的因数其中2的能达到的最大次幂。比方14=2 * 7,最大1次幂。即2;16=2 * 2 * 2 * 2。最大4次幂,即16。
这个游戏成为尺子游戏是由于SG函数非常像尺子上的刻度。
约束条件8:每次必须翻转4个对称的硬币,最左与最右的硬币都必须是从正翻到反。(开始的时候两端都是正面)(Grunt游戏)
这是Grundy游戏的变种,初始编号从0开始。
当正硬币位置为0,1,2时是terminal局面,即 终结局面,sg值都是0。当正硬币位置n大于等于3的时候的局面能够通过翻0,x,n-x,n四个位置得到(当中x<n/2可保证胜利)。
这就像是把一堆石子分成两堆不同大小石子的游戏,也就是Grundy页游游戏。
小结:
遇到翻硬币问题,如果找不到现成的模型,可以尝试往现有的模型(如nim游戏、巴什博弈等转化),不行就暴力打表sg函数找规律即可
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