1. Z逆变换

求Z逆变换的常用方法有三种：围线积分法（留数法）、部分分式展开法和幂级数展开法（长除法）。

理论公式推导参考教材，下面就matlab内置函数进行讨论：

2. Z逆变换函数

2.1 residues

2.2 residue

对拉普拉斯算子s的，适用于连续系统；

2.3 residuez

对Z变换算子z的，适用于离散系统；

[r,p,k] = residuez(b,a)

inputs：

b：按 $z^{-1}$ 的升幂排列的多项式的分子；

a：按 $z^{-1}$ 的升幂排列的多项式的分母；

outputs：

r：对应与根向量中各个根的留数向量；

p：分母的根向量（即X（z）的极点向量）；

k：无穷多项式系数向量；

计算由下列传递函数描述的三阶IIR低通滤波器对应的部分分数展开式：

$H(z)=\frac{0.05634(1+z^{-1})(1-1.0166z^{-1}+z^{-2})}{(1-0.683z^{-1})(1-1.4416z^{-1}+0.7957z^{-2}))}$

b0 = 0.05634;
b1 = [1  1];
b2 = [1 -1.0166 1];
a1 = [1 -0.683];
a2 = [1 -1.4461 0.7957];
b = b0*conv(b1,b2);
a = conv(a1,a2);
[r,p,k] = residuez(b,a)r =-0.1153 - 0.0182i-0.1153 + 0.0182i0.3905 + 0.0000ip =0.7230 + 0.5224i0.7230 - 0.5224i0.6830 + 0.0000ik =-0.1037

画出传递函数的极点和零点；

zplane(b,a)
hold on
plot(p,'^r')
hold off

再次使用残差来重建传递函数

[bn,an] = residuez(r,p,k)bn =0.0563   -0.0009   -0.0009    0.0563an =1.0000   -2.1291    1.7834   -0.5435

2.4 iztrans（常用）

Syntax
iztrans(F)；
iztrans(F,transVar)；
iztrans(F,var,transVar)；

下面计算2*z/(z-2)^2的z逆变换(默认情况下，逆变换是以n为单位的) 以下例子计算得到的结果需加上u（n）

syms z
F = 2*z/(z-2)^2;
iztrans(F)ans =2^n + 2^n*(n - 1)

syms z n;
X=z/(z-0.5);
x=iztrans(X,z,n)x =(1/2)^n

syms z n;
X=(z^2)/(z-1)^2;
x=iztrans(X,z,n)x =n + 1

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