导读

马尔科夫区制转移向量自回归模型可以进行实时(real-time)预测分析

扩展容纳混合频率和锯齿数据

可以看作是MF-VAR模型的马尔科夫区制转移(Markov-switching)扩展

从经验上讲，该模型能够非常准确地捕捉到美国的经济周期

VAR模型发展超简史

1向量自回归(VAR)模型

Sims(1980)创建VAR模型

2马尔科夫区制转移向量自回归(MS-VAR)模型

Hamiltion(1989)创建MS-VAR模型，可参见Krolzig(1997), Camacho and Perez Quiros (2002) and Paap et al. (2009).

3混频向量自回归(MF-VAR)模型

MF-VAR模型。该模型起源于Zadrozny(1988)提出的用于估计直接在不同频率下抽样模型。该方法将所有序列均视为以最高频率生成，但认为其中一些为不可观测。因此，仅在低频处可观测到那些变量，其它时点则认为是周期性缺失。MF-VAR目前有三种估计方法，即经典的状态空间方法、贝叶斯框架和堆积向量法(Ghysels, 2016)。贝叶斯技术被认为是MF-VAR模型估计的替代框架，Chiu et al. (2011通过开发一种Gibbs采用方法来估计混合和不规则采样数据的VAR。堆积向量法是观测驱动模型，与经典的参数驱动模型不同。堆积向量法根据可观测的数据来设定，并且不涉及潜在过程以及冲击，因此避免了测量方程、滤波等方程的设定，可以将MF-VAR视为是MIDAS分析的多变量延伸(郇志坚, 顾成军, 2018)。

4马尔科夫区制转移混频向量自回归(MS-MF-VAR)模型

Mariano and Murasawa (2010)

MS-MF-VAR模型的简要数学表达

Mariano and Murasawa (2003)指出，季度对季度的增长率可以看作是月度对月度增长率的合成指标：

经济指标的月度对月度增长率，假设服从马尔科夫区制转移向量自回归过程。这个MS-VAR(p)模型的常数项、自回归系数和协方差矩阵，是由不可观测的两状态变量驱动：

两状态马尔科夫链的转移概率定义为：

很容易得到这个模型MF-VAR的状态空间表达形式，并使用卡尔曼滤波(Kalman filter)进行估计。

p.s, 与HP滤波、BP滤波等不同的是，KF(卡尔曼滤波)虽然也叫做滤波，但它其实是一种状态空间下的一种强大递归算法。

量测方程表示为：

转移方程表示为：

估计和信号提取

卡尔曼滤波(KF)可以用来估计MS-MF-VAR模型参数，并推断不可观测成分。算法是从Beta 0开始，预测方程为：

计算预测误差和协方差矩阵

状态空间迭代及其协方差矩阵更新为：

基于卡尔曼滤波对信号的后验，以及(12)和(13)式之间的替代，分别为：

滤波概率的迭代形式，估计为：

平滑概率对于评价马尔科夫区制转移模型，捕捉经济周期的样本内精度，非常有用！

观测对象缺失的处理

量测方程可以表达为：

实际应用

图1季度增长率的月度指标

图2状态1的平滑概率

表1多模型性能的比较

模型的字母前缀越多，效果越好！

自然是MS-MF-VAR模型的预测性能最佳

P.S 由于中国是转型经济体，在这种转型(区制)中，MS类模型特别适合中国的数据。

结论

目前，对多变量时间序列的经济周期特征建模已经引起了广泛的兴趣。在实证分析中使用的MS-VAR模型，用处有限，因为它们限于使用以相同频率抽样的经济指标，而且不能反应数据发布的延迟。MF-VAR模型仅限于线性分析，不提供经济衰退的概率。为了克服这些缺点，本文扩展了MS-VAR模型，以处理混合采样频率的问题，并考虑不同步发布的经济指标和MF-VAR模型，以考虑区制转换经济周期的不对称性。

马尔科夫区制转移＋混频数据＋向量自回归＝MS-MF-VAR

Gauss代码

出于谨慎和美观的考虑，这次只给出Gauss的代码片段

如果没有Gauss软件，拿到code也没有用处，这个的code不大，就一个gau文件

有对Gauss编程特别熟悉，并且有正版Gauss软件，且对该模型特别感兴趣者，可在公号留言，进一步交流

欢迎持之以恒义无反顾关注本号