离散数学第十三章欧拉图与哈密顿图

13.1 欧拉图与中国邮递员问题

13.1.1 欧拉图基本知识点

13.1.2 Fleury算法（构造欧拉回路）

13.1.3 中国邮递员问题算法

13.2 哈密顿图与推销商问题

13.2.1 哈密顿图

13.2.2 推销商问题

13.1 欧拉图与中国邮递员问题

13.1.1 欧拉图基本知识点

1）欧拉道路（回路）的定义：

设G是一个无孤立结点的图，包含G的每条边的回路

一条欧拉道路（回路）是经过图中每边一次仅一次的道路（回路）

2）如何判别欧拉图：具有欧拉回路的图

3）一个图含有欧拉道路的条件：

①非平凡连通图G=<V,E>含有欧拉道路当且仅当G仅有零个或两个奇数度结点

②无向连通图G=<V,E>是欧拉图当且仅当G的所有结点的度数都为偶数

4）连通有向图G中含有有向欧拉道路和回路的充要条件

①含有欧拉道路，当且仅当除了两结点（起始点和终点）外，其余结点ID=OD；这两个结点其一ID=OD+1,其二OD=ID+1

②含有欧拉回路，当且仅当所有结点OD=ID

13.1.2 Fleury算法（构造欧拉回路）

注：如果 $e_{i+1}$ 是割边，同时还有其他边与 $v_{i}$ 相关联，则不能选 $e_{i+1}$

13.1.3 中国邮递员问题算法

（1）若G不含奇数度结点，则任一欧拉回路就是问题的解决

（2）若G含有2K（K>0）个奇数度结点，则先求出其中任何两点间的最短路径，然后再在这些路径之中找出K条路径P1，P2,...,Pk，使得满足以下条件：

①任何Pi和Pj（ $i\neq j$ ）没有相同的起点和终点

②在所满足①的K条最短路径的集合中，P1,P2,...,Pk的长度总和最短

（3）根据（2）中求出的K条最短道路P1,P2,...,Pk，在原图G中复制所有出现的在这条道路上的边，设所得之图为G'。

（4）构造G'的欧拉回路，即得中国邮递员问题的解。

13.2 哈密顿图与推销商问题

13.2.1 哈密顿图

1）哈密顿道路（圈）的定义：

①哈密顿道路是经过图中所有结点的道路中长度最短的道路；

②哈密顿圈是经过图中所有结点的圈中长度最短的圈。

2）判断是否是哈密顿图的必要条件：

定理：设无向连通图G=<V,E>是哈密顿图，S是V的任意非空真子集，则

w(G-S)≤|S|

w(G-S)指从G中删去S后所得到图的连通分支数

3）判断是否是哈密顿图的充分条件：

定理：设G=<V,E>是具有n个结点的简单图。若对任意两个结点 $u,v\in V$ ，均有：

$deg(u)+deg(v)\geq n-1$ —>G中存在哈密顿道路

$deg(u)+deg(v)\geq n$ —>G必是哈密顿图

13.2.2 推销商问题

⭐图的闭包

定义：设G=<V,E>是n阶的简单图。若存在一对不相邻的结点 $u,v\in V$ ，满足：

$deg(u)+deg(v)\geq n$

则构造图G+uv，并且在图上G+uv重复上述步骤，直至不再存在这样的结点对为止，所得之图称为图G的闭包，记为c(G)。

（让所有满足 $deg(u)+deg(v)\geq n$ 的两点相邻）

定理：一个简单图G是哈密顿图当且仅当其闭包图是哈密顿图