如何通俗地理解傅立叶变换？

声明下，下面都是用傅立叶级数来阐述，文章最后会说明下傅立叶级数和傅立叶变换之间的关系。

让我们从比较容易懂的解释开始吧。

1 直观解释

1666年牛顿发现太阳光经三棱镜的折射后可呈现彩色光，称为光的色散现象：

先说一个物理常识，光是一种波，而光的颜色由振幅和频率所决定。

所以色散实际上是，白色的光波被分解为七色光波（实际应该是无数种颜色的光波）：

七色光波可以用正弦波 $a_nsin(nx)$ （其中 $a_n$ 是振幅， $nx$ 可以表示频率）来近似。因此上面实际就是傅立叶级数（下面只是傅立叶级数的非常不准确的近似，为了帮助理解简化成了这样子，让我心中充满了罪恶感，后面会给出严格定义）：

雨过天晴，有时就会看见彩虹：

雨后空气中的水分就好像无数的三菱镜，把太阳光拆成了彩色。正是大自然中的色散现象。

这大概是我们在自然界中最容易观察到的傅立叶级数。

在自然界中这个故事还有续集，我们继续讲下去。

德国化学家罗伯特·威廉·本生（1811一1899），发明了本生灯：

本生灯除了温度高外，还有一个显著特点，如果合理的控制燃料的成分和喷射压力，可以让火焰没有颜色。

偶然的情况下，本生撒了把盐（氯化钠）到灯的火焰上：

本来无色的火焰变成了黄色：

这实际上就是盐中的钠燃烧的颜色。

不同的化学元素燃烧的时候会有不同的颜色，复合物质的燃烧颜色会由它的成分的燃烧颜色来合成决定。

因此，如果我们想检测某个物质的成分，就可以把它点燃，然后对它的光进行傅立叶级数分解，就可以得到组成成分。

从这个意义上来说，万物皆可进行傅立叶级数分解，这也是它的发现者约瑟夫·傅里叶男爵（1768 －1830）所坚信的（实际上是有一定限制的，这个就比较数学了，可以查看傅立叶的收敛定理）。

好了，直观解释讲完了，其实也没有什么卵用。

就好像“听过很多道理，依然过不好这一生”。

我们需要更深入的理解，才能陪傅立叶好好过完这一生。

2 时域：旋转与傅立叶级数

我迫不及待的要给出傅立叶级数的严格形式，以弥补我之前的近似。

假设， $f(x)$ 为周期为 $T$ 的函数，并且满足傅立叶级数的收敛条件，那么可以写作傅立叶级数：

$\displaystyle f(x)={\frac{a_{0}}{2}}+\sum _{{n=1}}^{\infty}\left(a_{n}\cos({\tfrac {2\pi nx}{T}})+b_{n}\sin({\tfrac {2\pi nx}{T}})\right)$

其中：

$\displaystyle a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{{x_{0}}}^{{x_{0}+T}}f(x)\cdot \cos({\tfrac {2\pi nx}{T}})\ dx\\ b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{{x_{0}}}^{{x_{0}+T}}f(x)\cdot \sin({\tfrac {2\pi nx}{T}})\ dx$

2.1 欧拉公式

根据欧拉公式：

$e^{i\theta } = \cos \theta +i\sin \theta$

我们可以推出：

$\sin \theta ={\frac{e^{{i\theta }}-e^{{-i\theta }}}{2i}} \\ \cos \theta ={\frac{e^{{i\theta }}+e^{{-i\theta }}}{2}}$

根据上式，我们可以写出傅立叶级数的另外一种形式：

$\displaystyle f(x)=\sum _{{n=-\infty}}^{\infty}c_{n}\cdot e^{{i{\tfrac {2\pi nx}{T}}}}$

其中：

$\displaystyle c_{n}={\frac{1}{T}}\int _{{x_{0}}}^{{x_{0}+T}}f(x)\cdot e^{{-i{\tfrac {2\pi nx}{T}}}}\ dx$

看到复数也不要怕，根据我之前的文章如何通俗易懂地解释欧拉公式（e^πi+1=0），我们看到类似于 $e^{i\theta}$ 这种就应该想到旋转：

从这角度来看，傅立叶级数：

$\displaystyle f(x)=\sum _{{n=-N}}^{N}c_{n}\cdot e^{{i{\tfrac {2\pi nx}{T}}}}$

实际上就是说，曲线可以理解为无数旋转的叠加，这怎么理解呢？

2.2 火星的轨迹曲线

比如这是地球上观察到的火星运行的轨迹（图片来源）：

我们可以通过两个圆周运动的叠加来模拟出这个曲线（图片来源）：

其实这就是地心说，感兴趣可以看下我的这篇文章。

2.3 旋转的傅立叶

所以，傅立叶级数实际上就是把 $f(x)$ 看作是圆周运动的组合。

只是 $x$ 是不断变大的，而不是绕着圆变换的，所以就画出了函数曲线：

不断增大的 $x$ 就好像是时间流逝，永不回头，所以我们也称为“时域”。

3 频域：线性代数与傅立叶级数

时域是现实存在的，频域却是生造的了，理解起来更加抽象。

但，敲黑板了，频域是傅立叶级数（变换）更本质的内容。

把傅立叶级数（变换）视作圆周运动的组合，是比较粗浅的看法，是买椟还珠的作法。

而把傅立叶级数（变换）看作频域，等于直接把它绑上了线性代数的战车，把它从固定在发射井中的常规核武器变成了游走不定更具威力的核潜艇、核卫星。

3.1 线性代数

线代的最基本的研究对象就是向量，带箭头的一根直线：

线代的基本操作就是把向量分解为基的合成：

即：

$\vec{u_{}}=a\vec{i_{}}+b\vec{j_{}}$

这么做的好处很多，比如物理中，分析各个方向上的受力，然后进行合成：

比如，如果 $a >> b$ ，我们就可以知道， $\vec{i_{}}$ 上的分量更重要， $\vec{j_{}}$ 方向上的分量可以丢掉。（关于这个内容可以参看我写的奇异值的物理意义是什么）。

线性代数还有很多好处，你在使用傅立叶级数的时候就会感受到。

3.2 傅立叶级数的基

傅立叶级数（变换）本身是线性的（这个就是比较抽象的线性了），因此我们可以把线性代数在傅立叶级数上进行推广。

让我们先找到傅立叶级数的基是什么。

为了说明方便，假设 $f(x)$ 的周期 $T=2\pi$ ，那么有：

$\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty}^{\infty}c_{n}\cdot e^{inx}$

其中，以下无穷集合：

$\{e^{inx}\},n\in\mathbb{N}$

是无限维向量空间中的一组基，而且还是正交单位基。

可是，函数为什么可以做基啊？怎么有无限个基啊？无限维向量空间又是什么啊？这个，咱们这里就不展开了，如果确实想知道，这里有你需要的一切：傅立叶分析专题。

3.3 傅立叶级数向量

$f(x)$ 可以写作：

$f(x)=\cdots+c_{-1}e^{(-1)\cdot ix}+c_{0}e^{(0)\cdot ix}+c_{1}e^{(1)\cdot ix}+c_{2}e^{(2)\cdot ix}+\cdots$

因为 $\{e^{inx}\},n\in\mathbb{N}$ 是基，所以可把 $f(x)$ 表示为一个向量：

$f(x)=(\cdots, c_{-1}, c_0, c_1, c_2, \cdots)$

这个向量其实就是傅立叶级数的向量。

因为基 $\{e^{inx}\},n\in\mathbb{N}$ 实际上反映了周期运动的频率，我们以频率为基，所以这样看待傅立叶级数的方式就是“频域”。

3.4 频谱图

对于：

$\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty}^{\infty}c_{n}\cdot e^{inx}$

我们用 $(n,c_n)$ 来描点作图，就得到频谱图。

下面是一个周期矩形波的频谱图：

图片出处。

3.5 应用

3.5.1 图像压缩

我写的奇异值的物理意义是什么，里面就说过图像压缩的问题。

傅立叶级数通过同样的原理也可以做图像压缩，比如JPG就是用傅立叶进行图片压缩的。

原理可以大概这么理解，哪些基上的坐标值特别小，就可以丢掉，这样就可以压缩图像。

这就是把函数分解到正交基上的好处，我们可以用线性代数中的知识直接去处理。

信号处理中还有不少类似的分解，比如小波变换。所以掌握数学思想尤为重要。

3.5.2 模式识别

类似的图像，通过傅立叶变换，转换到频域之后看起来确实比较类似，比如下面这幅图，A的频域看起来就挺像，而A、B、C、D之间看起来就不太一样：

图片出处。

我们人眼观察图片的方法对计算机并不适用，似乎对于计算机而言，频域更能揭示“特征”。

4 傅立叶级数和傅立叶变换

傅立叶级数是基于周期函数的，如果我们把周期推广到 $\infty$ ，那么也就变为了非周期函数，这就是傅立叶变换。

两者的频谱图对比，可以看到傅立叶变换的频谱图是连续的（上面是周期函数的傅立叶级数分解，下面是非周期函数的傅立叶变换）：

图片出处。

文章最新版本在（有可能会有后续更新）：如何通俗地理解傅立叶变换？

后续阅读：

如何理解傅立叶级数公式？
从傅立叶级数到傅立叶变换

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