数学之旅 上海交通大学
1，绪论
点和无穷大是给不出来的，什么多东西都是抽象的。要习惯抽象思维。
距离，两个人之间的距离，可以是重心的距离，可以是头与头之间的距离，也可以是心灵的距离。
数学上的距离，满足交换律，非负性，三角不等式。
数数，数人，数苹果，数小狗。。我们忽略了人，苹果，狗的很多属性。只抓住了数量的属性。。知道关注的对象，以及关注的对象的属性，这是很重要的，要忽略抵制其它很多东西。比如拓扑学中圆和椭圆是一个东西，这就要忽略它们的形状属性，而抓住它们的拓扑的属性。
比如七桥问题，不会关注桥的长短，桥的材质。城镇抽象为点，桥抽象为边。。抽象就是把你要的东西抽出来，其它东西忽略掉。这叫抽象能力。。所为的一笔画问题。如果奇顶点的个数是0或者2，才能一笔画，有几对奇顶点，就至少几笔画完。
爱因斯坦说18岁前学的东西都是你以后学习的最大的偏见。常识成为你的阻碍。
比如2.5！，e1.1+2i2.5！，e^{1.1+2i}，等有些东西，在数域无法理解，那只是我们看问题的角度不同。
比如：Beta函数和Gamma函数提供了大部分超几何函数（Hypergeometric functions）的理论基础。Gauss 超几何级数的积分表示便是借助了Beta积分。而Mellin-Barnes积分表示则是借助了Gamma函数的性质，这使得超几何级数在复平面上的延拓得以通过一种统一的形式得以实现。
问题的本质是固定的，不同的形式只是看到了一部分。在一种形式上不统一，难以理解，可以在另一种形式上统一，另一种形式上找到关系。这种关系是真实存在的。有时候2.5！，e1.1+2i2.5！，e^{1.1+2i}只是作为桥梁，一种符号，代表着一种计算方式，一种映射。
比如数域不好计算的东西，先映射到频域去计算，在映射回数域。在数域难计算或许表明在数域，我们的计算工具比较落后，不适合这个问题而已。每个空间有自己的视图，比如e，πe ，\pi在实数上是无理数。说不定在某些空间里面是单位元素呢，你觉得无理，正式别人的有理。
2，积分
奇数和正整数的个数是相等的。（比如，每个正整数x，都有奇数2x-1与之对应，且不重复）
y=1xy=\frac{1}{x}绕着x轴旋转，形成的表面积是无限的，但是体积是无限的。
你同样可以找到一个周长是无限的，但是面积是有限的。
有限的体积被无限的面积围着。
这应该是面积和体积不是一个维度。多了一个维度。
比如你求曲线的切线，点和线的关系。线段的长度是有限的，但是点是无限的。
这些在直观上的都是奇怪的地方。
其实面积在无限大，只需要一滴水就可以涂满，理论上来说，任意小的体积展开都是无限大的面积。维度决胜论，维度高一级，就是大死你。
完备性：比如刚刚开始是正整数，，但是1-3等于几？于是引入负数，变成整数。后来有了乘法和除法，就要引入有理数。后来有了开方，就要引入无理数。负数的开方，就要引入复数。这就是完备性。
黎曼积分对可数个间断点是可积分的。
比如函数u=1当x为有理数，u=0当x为无理数。这样的函数对于黎曼积分是不可积分的。黎曼积分对于震荡的很厉害的函数不可积分。
勒贝格积分放弃对定义域进行分割并求和的方法，而是在值域黎曼进行分割并求和的方法。对y轴进行切割，看看有多少个x对应这个y轴。
这里要引入一个测度的问题。比如01区间内有理数的测度是多少，无理数的测度是多少（01区间有理数测度为0，无理数测度为1）。有理数是可数的。分母是1的，分母是2的，分母是3的。无理数不可数。
勒贝格积分是完备的。因为黎曼积分对有的函数是不可积的。
未知是已知的边缘，未知只会越来越多。
3，函数空间
两个点的距离，一般是加上绝对值，|x−y||x-y|
两个曲线的距离。
两个函数的距可以是：(f−g)2(f-g)^2进行积分，也就是函数之间面积。也可以是max|f−g|max|f-g|，差距最大的值。
两个学者之间的距离，比如合作发表的论文，关注的领域的多少。
两个人的经历相似度，两个人的默契程度，都可以度量两个人之间的心灵距离。
这么多距离，距离到底是什么？
两点的距离，比如可以是：1，(x1−x2)2+(y1−y2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√\sqrt{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2}，2，|x1−x2|+|y1−y2||x1-x2|+|y1-y2|，3，max(|x1−x2|,|y1−y2|)max(|x1-x2|,|y1-y2|)
水果：可以吃的额含水分多的植物果实的同城，如苹果，梨子，桃子。
热带水果：生在热带的水果。
限制多了，内涵多了，外延少。
天下没有水果。水果是抽象的概念，是不存在的。
距离定义：x是一个非空集合，任给集合元素xy，那么d(x,y)满足1，非负性，自己到自己是0，2，对称性，x到y，y到x相等，3，三角不等式，xy小于等于xz加zy。
所以前面的点到点的距离中，不能是min(|x1−x2|,|y1−y2|)min(|x1-x2|,|y1-y2|)，否则，不满足三角不等式。比如三个点a(0,1)，b(0,0)，c(1,0)。。也可能不满足第一条，为0必须是相等。a和b的距离是0，但是不相等。
线性空间，满足：加法的交换律，结合律，零元，负元。数乘的交换律，单位1。数乘与加法的结合律。
范数，x到零点的距离，就是范数。
范数相对于距离，多了一个限制||ax||=|a|||x||||ax||=|a| ||x||
范数相对于距离是更具体的。范数是距离，但距离不一定是范数。
因为两点的距离，可以先做线性运算，c=a-b。然后再求c的范数，也就是a到b的距离了。
所以有范数的线性空间是，有距离的。
而且范数是更具体的距离，多了一个||ax||=|a|||x||||ax||=|a| ||x||限制。
赋予范数或者距离的集合分别是：赋范空间和度量空间。
在加上线性结构，就是线性赋范空间和线性度量空间。
相同的向量的内积等于范数。内积可以引出夹角，距离等。内积可以的导出范数。
内积空间的完备空间是希尔伯特空间。
完备空间。是指取极限，还在空间内。
巴拿赫空间是完备的赋范空间。（范数比内积定义更宽松），是有线性结构的。
范数定义强化了距离。
内积是较距离和范数有更多的内涵。
拓扑是弱化了的距离。
拓扑 距离 范数 内积
拓扑空间：欧几里得集合学需要内积，但连续的概念不需要内积，甚至不需要距离。比如学号。
设X是一个集合， O是一些X的子集构成的族，则(X,O)被称为一个拓扑空间，如果下面的性质成立：
1. 空集和 X 属于 O ，
2. O 中任意多个元素的并仍属于O ，
3. O中有限个元素的交仍属于 O 。
这时， X 中的元素成为点（point）， O 中的元素成为开集（open set）。我们也称 O是X上的一个拓扑。
空间：一个是元素是什么，第二规则是什么。
4，不定点理论
5，傅里叶分析
sin cos函数是，点在圆上的转动，角速度恒定，观察它的的y轴的变化。x轴当做时间，转过的角度。sin cos函数本身也是映射。表示定义域和值域的映射关系而已，一种关系。
傅里叶级数，任何一个函数可以由傅里叶级数表示。记住傅里叶级数的参数cn是可数的，而原函数是不可数的，任给x，都有f(x)对应。。注意正整数是可数的，而无理数是不可数的。正有理数是可数的（分母为1的，分母为2的）。
无理数真实个奇葩的存在，给不出具体的数值，但是确实唯一固定存在，一如等腰直角三角形的斜边的长度就是2√\sqrt{2}。 存在却不可知，
函数的求导，相当于傅里叶变换的的乘法。。多少阶可导，相当于傅里叶级数里面是否有界。
傅里叶级数的基底是正交的。那么函数相乘就是对应项相乘。其它项直接为0。函数相加，也是对应项相加。
什么叫做知道一个函数，知道一个映射，知道一个关系。
知道一个函数可以是时域，也可以是频域知道。
求二分之一阶导数。（拟微分算子）
物理世界可能找不到。在二维空间一个手是不能翻身的。但是在三维空间可以。初始条件和结果都是在二维空间。三维空间是我翻身的余地。给自己制造思想的自由空间，翻身的余地。。可能三维空间是我想象的，但是在我的思想中，三维和二维是有具体的对应转换关系的。我并没有丢失二维信息。我返回的结果也是二维的。
注意这里是傅里叶你变换，，原函数f(t)，对t求导，涉及到对复数求导。相当于傅里叶里面乘以-iw。
傅里叶变换，，调和分析，，拟微分算子，，小波分析。。
6，混沌与分形
混沌：：
初始值的微小变化极大的影响结果。非线性因素，多个因素互相约束。
非线性系统：一个系统,如果其输出不与其输入成正比，则它是非线性的。从数学上看，非线性系统的特征是叠加原理不再成立。叠加原理是指描述系统的方程的两个解之和仍为其解。叠加原理可以通过两种方式失效。其一，方程本身是非线性的。其二,方程本身虽然是线性的,但边界是未知的或运动的。
线性系统对外界影响的响应平缓、光滑，而非线性系统中参数的极微小变动，在一些关节点上，可以引起系统运动形式的定性改变。在自然界和人类社会中大量存在的相互作用都是非线性的，线性作用只不过是非线性作用在一定条件下的近似。
一个单摆是线性的，单摆下面在接一个小球，两个单摆就是混沌。
xn+1=f(xn)=axn(1−xn)x_{n+1}=f(x_n)=ax_n(1-x_n)，其中axnax_n是驱动力，正面，(1−xn)(1-x_n)是驱散力，负面。迭代k次，表示为fkf^k。如果存在周期，则x=fk(x)x = f^k(x)，当a取一定值的时候，是不存在解的。如a=3.57。就像无限循环小数和无限不循环小数。
牛顿法：原本是求函数的零点，下一个点，就是该点处切线与x轴的交点，然后迭代。一般极值处，函数的导数为零。所以可以用牛顿法，但切记是二阶导数和一阶导数。。。。求函数的0点，就是有该处函数的切线来近似等价于改该函数，，对于一个直线，求它的零点，太容易了。
x4=1x^4=1有四个根，用牛顿法求解。
随机选取初始点，收敛结果不是明显的分成1，-1，i，-i四个区域。不是想象中的两个对角线切割的四个区域.
每个细节都可以无限放大，就像两面相互对着的镜子一样。无限的放大。
类似的还有尤利亚集。迭代函数R(z)=z2+(0.99+0.14i)zR(z)=z^2+(0.99+0.14i)z。所有稳定点组成尤利亚集。
分形：
海岸线有多长，怎么量是关键，涉及到尺度。航拍量，你可能就忽略了一个大水坑。人去量，忽略不了大水坑，但是可以忽略一块石头，但是蚂蚁去量，忽略不了石头。疑问是有限的宽度内，可以出现无限长？答案是肯定的。
科克曲线：：设想一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形。现在取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷。外界的变得原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花。它的名字叫科克曲线
周长是无限的，但是面积是有限的，显然可以画一个圆圈把他包围住。
非常强的自相似性。每个微小的部分和整体部分都是一样的。
分形不是随机的，但无限的重复，又导致不确定。除非你也是无限的。
测度：：
01区间内的有理数是可数的，分母为1的，分母为2的，分母为3的等等。任给ξ\xi，第一个有理数用ξ\xi长度来盖住，第二个用ξ/2\xi /2来盖住，第三个用ξ/3\xi /3来盖住，等等呢，长度总是可以盖住一个点，求极限可知等于2ξ2\xi，因为ξ\xi任意小，所以有理数长度为0。无理数的长度是1。
hausdorff测度
平面上的单位正方形，在三维的测度是0，一维的测度是无穷，在二维的测度是2。
固定的定理，加上随机的过程。就像雪花一样，有物理结构形成，导致你一看就是雪花，但是没有相同的雪花。
距离，两个规则，向东南方向移动2cm，向中心移动25%。随机发生器随机选择两个规则。会生成有趣的图形。由于规则固定导致一看就知道是这类图形，但由于随机，导致每个图形都不一样。
科克曲线、皮亚诺曲线、康托尔集、门杰海绵、席尔宾斯基地毯。这些可以无限放大重复的东西，也是可以测量的。
有理数排成一排的经验很重要。先看分母为1的，在看分母为2的，再是分母为3的，就是测度不断的变大。
由非线性迭代，产生混沌。在无序背后隐藏了有序（如自相似性），随机和确定在混沌这里统一。
想象一下，牛顿法求解x4=1x^4=1。如果求解得到1或者-1，奖励是生，i或者-i，奖励是死。想象一个二维的生物，其运动规则符合牛顿法。但是你无法知道他将来是生还是死。因为你无法知道他的确切位置。你的精度不可能是无限的。也就是规则你懂，但是生死结果未知。可以无限重复放大。有理数的个数相对于无理数的个数来说是0，是无穷小。
维数高一级，压死人，，
比如级数：1+1/2+1/4+1/8+1/16...1+1/2+1/4+1/8+1/16...求和，
虽然个数是无限的，但是长度是有限的！
虽然面积是无限的，但是体积是有限的！
虽然周长是无限的，但是面积是有限的！
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