伪逆（Pseudoinverse）

The pseudoinverse A+A^+A+ — the best inverse when the matrix AAA is not invertible

行空间向量vi\boldsymbol{v}_ivi乘矩阵AAA得到列空间向量 σiui\sigma_i\boldsymbol{u}_iσiui
Avi=σiuiA\boldsymbol{v}_i=\sigma_i\boldsymbol{u}_i Avi=σiui
如果矩阵AAA可逆
viσi=A−1ui\frac{\boldsymbol{v}_i}{\sigma_i}=A^{-1}\boldsymbol{u}_i σivi=A−1ui
矩阵A−1A^{-1}A−1的奇异值是1σ\frac{1}{\sigma}σ1、矩阵A−1A^{-1}A−1的特征值是1λ\frac{1}{\lambda}λ1

如果矩阵AAA不可逆，则它的伪逆 A+A^+A+
当矩阵AAA非满秩时，即 r<mr<mr<m 或 r<nr<nr<n，A+=VΣ+VTA^+=V\Sigma^+V^TA+=VΣ+VT

当矩阵AAA满秩时，即m=n=rm=n=rm=n=r，A−1=A+=VΣ+VTA^{-1}=A^+=V\Sigma^+V^TA−1=A+=VΣ+VT

例子：

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