案例5.3 我国各地区财政支出的因子分析

1 案例说明

我国各地区财政支出项目包括：一般公共服务、国防、公共安全、教育、科学技术、文体传媒等14项。根据2017年的数据，对14个变量进行因子分析，通过因子分析了解各地区财政支出情况。

2.因子分析

2.1 基本思想

因子分析是利用降维的思想，研究相关阵或协方差阵的内部依赖关系，将多个变量综合为少数的几个因子，以再现原始变量之间的相关关系。

2.3 正交因子模型

2.2主要步骤

1.确认待分析的原变量是否适合作因子分析

利用相关关系KMO值判断原变量是否适合做因子分析
KMO值越接近于1，意味着变量间的相关性越强，原有变量越适合作因子分析；当所有变量间的简单相关系数平方和接近0时，KMO值越接近于0,意味着变量间的相关性越弱，原有变量越不适合作因子分析。

度量标准：0.9 以上表示非常适合；0.8 表示适合；0.7 表示一般；0.6 表示不太适合；0.5以下表示极不适合

2. 构造因子

因子分析中有很多确定因子变量的方法，如基于主成分模型的主成分分析和基于因子分析模型的主轴因子法、极大似然法、最小二乘法等，主成分分析方法是应用最为广泛的一种方法。

3. 因子旋转

因子变量的命名解释是因子分析的另一个核心问题，在实际的应用分析中，主要通过对因子载荷矩阵进行分析，得到因子变量和原有变量之间的关系，从而对新的因子变量进行命名。有时因子载荷矩阵的解释性不太好，通常需要进行因子旋转，使原有因子变量更具有可解释性。因子旋转的主要方法：正交旋转、斜交旋转。方差最大正交旋转最为常用，基本思想是使公共因子的相对负荷的方差之和最大，且保持原公共因子的正交性和公共方差总和不变。可使每个因子上的具有最大载荷的变量数最小，因此可以简化对因子的解释。

4.计算因子得分

因子得分可以把公共因子表示成变量的线性组合，或反过来对每一个样品计算公共因子的估计值，可用于对模型的诊断。

3.案例操作

1.对原始数据进行标准化处理，消除不同量纲的影响
分析——描述统计·——描述——选择变量——将标准化值选择为变量

2.KMO和巴特莱特检验

KMO值为0.788，为高度相关关系。巴特利特泅渡检验统计量为678.523，对应p值近似为0，表明14个变量之间具有较强的相关关系，可以做因子分析。

3.公因子方差

公因子方差又称为变量的共同度，是因子载荷矩阵中各行元素的平方和，表示全部公因子对变量X的总方差所做出的贡献。
14个变量的公因子方差最小值为0.759>0.7，表明公共因子能够很好地解释各变量。

4.总方差解释

总方差解释与公因子方差刚好相反，是因子载荷矩阵的各列的平方和，表示第j个公共因子对14个变量的总影响，是衡量第j个因子重要性的指标。
第一个因子特征值为9.424，解释的方差为67.311%，累计解释总方差为67.311；旋转之后解释的方差为43.487%，累计解释总方差为43.487。
第一个因子特征值为1.959，解释的方差为13.996%，累计解释总方差为81.307；旋转之后解释的方差为28.529%，累计解释总方差为72.016。
第一个因子特征值为0.949，解释的方差为6.776%，累计解释总方差为88.083；旋转之后解释的方差为16.067%，累计解释总方差为88.083。
三个公因子的特征值分别为：9.424,1.959,0.949
5.碎石图

在选取主成分的数量时，可以通过碎石图的方法得到，一般提取的信息在80%以上或者特征值大于1，在本案例中选取的主成分的数量是3个，碎石图结果如下图所示

6.成分矩阵与旋转成分矩阵

成分矩阵是主成分分析得到的，得到的是初始的因子，需要进行因子旋转，得到更为，明确的因子。旋转后的成分矩阵如下所示：

旋转后的成分矩阵中，第一个因子在公共安全、教育、科学技术、文化传媒、医疗卫生、社区服务、工商金融、其他支出者八个变量方面具有较大载荷，可以将第一个公因子命名为“科教文卫支出”。第二个公因子在一般公共服务、国防、农林水事务、交通运输方面具有较大载荷，可以命名为“服务支出”。第三个因子在保障就业和保护环境方面具有较大载荷，可以解释为“保护支出”。

7.因子得分系数矩阵

根据因子得分系数矩阵，可以利用变量表示公共因子。标准因子得分函数如下：