【leetcode-Python】-找数学规律-LCP 29. 乐团站位

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https://leetcode-cn.com/problems/SNJvJP/

题目描述

某乐团的演出场地可视作 num * num 的二维矩阵 grid（左上角坐标为 [0,0])，每个位置站有一位成员。乐团共有 9 种乐器，乐器编号为 1~9，每位成员持有 1 个乐器。

为保证声乐混合效果，成员站位规则为：自 grid 左上角开始顺时针螺旋形向内循环以 1，2，...，9 循环重复排列。例如当 num = 5 时，站位如图所示：

请返回位于场地坐标 [Xpos,Ypos] 的成员所持乐器编号。1<=num<=10^9，0<=xPos,yPos < num。

示例

输入：num = 4,xPos = 1,yPos = 2

输出：5

解题思路

对于这类找数学规律的问题，我们要在充分理解题意的基础上通过举来挖掘规律。如果我们知道某位置是生成螺旋矩阵时的第res个数(从1开始计)，我们可以很容易得到某个位置的乐器编号：如果res%9==0，那么乐器编号为9；如果res%9!=0，那么乐器编号就是res%9。（需要做判断，不能直接返回res%9）

。比如num=4的螺旋矩阵为：

比如对于x=2,y=1的位置，计数为16，那么乐器编号为16%9 = 7。如果直接遍历螺旋矩阵来得到计数的话，对于10^9的数据规模，O(N)的时间复杂度会导致TLE。因此我们要找规律来得到当前位置的计数。我们能够很容易观察到，螺旋矩阵是一圈一圈绕进去的，我们可以直接根据给定的矩阵边长，和当前位置（xPos，yPos）得到计数结果：

1、首先要确定当前位置所在的层数（从0开始计）。容易发现，层数是当前位置距离上、下、左、右四个边界的最小值min(xPos,num-1-xPos,yPos,num-1-yPos)。当前位置和上边界的距离为xPos，和下边界的距离为num-1-xPos，和左边界的距离为yPos，和右边界的距离为num-1-yPos。比如对于num=4的螺旋矩阵中的（1,3）位置，该位置距离上边界的距离为1，距离下边界的距离为2，距离左边界的距离为3，距离右边界的距离为0。因此(1,3)位置在螺旋矩阵的第0层。记当前位置在螺旋矩阵的第k层。

2、确定当前位置所在层数后，我们要知道层数小于当前层（环绕当前层）的层中有多少个元素，因为这些元素一定都在当前位置的前面。在计数走到当前层的当前位置之前，环绕当前层的层一定已经被填满了。

得到环绕当前层的层中元素个数有两种方法：

（1）我们根据num=5的螺旋矩阵找规律：

第k层的边长为n-2k，由此也很容易能得出第k层的元素个数4*(n-2k-1)），第0层的元素个数为4*(n-1)，第1层的元素个数4*(n-2-1)，每层的元素个数构成公差为8的等差序列。因此如果当前位置在第k层，那么从第0层到第k-1层(共有k层)的元素总和为((4*(n-1) + 4*(n-2(k-1)-1))*(k))/2 = 4k(n-k)。

（2）让大正方形中元素个数减去当前层所在的小正方形中元素个数。大正方形中元素个数为n*n，小正方形的边长为(n-2k)，因此结果为n*n-(n-2k)*(n-2k) = 4k(n-k)。

3、最后计算当前位置是生成当前层时的第几个值（从1开始计数），这要看当前位置在这一层上、下、左、右中的哪个位置，当前层所在小正方形的边长为size = n-2k，当前层(第k层)所构成的正方形的左上角坐标为(k,k)，(k,k)是当前层中的第一个元素。我们令x = xPos-k，y = yPos-k，那么x，y分别是当前位置以(k,k)为坐标原点时的相对坐标。

（我们得到下面公式时要举个例子看是否正确，也可以通过例子倒推公式）

如果x==0，那么当前位置在第k层的上边界，当前位置是当前层的第y+1个值。

如果y==size-1，那么当前位置在第k层的右边界,当前位置是当前层的第size+x个值。

如果x==size-1，那么当前位置在第k层的下边界，当前位置是当前层的第2*(size-1)+size-y个值。

如果y==0，那么当前位置在第k层的左边界，当前位置是当前层的第3*(size-1)+size-x个值。

Python实现

class Solution:def orchestraLayout(self, num: int, xPos: int, yPos: int) -> int:res = 0k = min(xPos,yPos,num-1-xPos,num-1-yPos) #当前所在层数res += 4*k*(num-k) #环绕当前层的层中元素个数size = num-2*k #size为当前层边长x = xPos-k#相对坐标y = yPos-k #相对坐标if(x == 0): #在上边界res += (y+1)elif(y == size-1):#在右边界res += (size+x)elif(x == size -1): #在下边界res += 2*(size-1) +size-yelse:#在左边界res += 3*(size-1) + size-xreturn 9 if res%9==0 else res%9