时间序列中的平稳性检验之单位根检验

对序列的平稳性的检验中最常用的方法是单位根的检验。单位根检验是指检查序列中是否存在单位根，如果存在单位根就是非平稳时间序列了。下面是找的解释为什么单位根存在就是非平稳时间序列的原因。

作者：五雷
链接：https://www.zhihu.com/question/22385598/answer/21221607
来源：知乎
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首先要理解什么是平稳的时间序列，一般时间序列书中给出的平稳的定义以弱平稳为主也就是一个随机变量 ${y_{t} }$ 的无条件期望不变、方差恒定且协方差不随时间改变，也就是 $E[y_{t}]=a,Var[y_{t}]=\sigma^{2},Cov(y_{t},y_{t-i})=\sigma_{i}$ ，注意关键在于方差是有限的，并且协方差是不随时间改变的。为什么这么设定？主要是给定这些假设前提后，就可以便于技术上的处理，例如平稳变量的谱分析；
然后，需要知道一般什么样的时间序列是平稳的，例如最常用的ARMA过程 $y_{t}=A(L)y_{t-1}+B(L)\epsilon_{t}$ ，关键在于理解这个方程实际上是一个随机差分方程，差分项就是变量自身，随机项就是 $\epsilon_{t}$ ，将上面这个方程稍微变换，可以看到可以写成 $y_{t}=B(L)\epsilon_{t}/(1-A(L))$ ，这也就是随机微分方程的一个解，方程 $1-A(L)=0$ 称为逆特征方程，解也就是逆特征解，跟差分方程的齐次解成倒数关系。现在可以知道，差分方程要平稳，那么其解应该在单位圆内，或者对应的逆特征方程的特征根在单位圆外。如果有根在单位圆上，那么对应着就是有单位根了；
最后，看什么样的序列存在单位根，最简单的情况 $y_{t}=y_{t-1}+\epsilon_{t}$ ，可以看到对应的特征根是1，这样得出的解为 $y_{t}=\sum_{i=0}^{\infty }{\epsilon_{t-i}}$ ，可以看到这种情况下，离当前时间 $t$ 很久远的时刻的一个随机冲击对现在的影响仍然没有衰减，这样就是单位根过程了。如果时间序列存在这种情况，对时间序列的未来值的预测就难以进行。再从平稳的定义看，此时随机变量的方差就会逐渐增大到 $\infty$ ，而不会是有限的方差，这样长期的时间序列就没有预测意义了。

上面陈述的就是最基本的单位根与非平稳时间序列的关系，那么怎么检验单位根过程？最基本的或者最通用的检验是ADF检验，要理解ADF检验需要弄清假设检验的一般原理，知道检验统计量的size distortion和power的含义，然后就能清楚为什么普通的t检验不能检验是否存在单位根而需要通过monte carlo实验来获取临界值了。系统的学习请参考hamilton~

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