求抛物线和直线交点_关于抛物线大题的参考经验（5）：浙江历年学考题回顾...

由于水平和时间的限制, 本文中一定还有不少的缺点和错误, 恳请各位读者批评指正. 文中的结论请参考关于抛物线大题的参考经验(1)：真·经验部分

题目

19.(2020.1学考T24)如图21, 设抛物线

与

的公共点

的横坐标为

过

且与

相切的直线交

于另一点

过

且与

相切的直线交

于另一点

记

为

的面积.

(I)求

的值(用

表示);

(II)若

求

的取值范围.

图20：练习题19

20.(2019.6学考T24)如图22, 已知抛物线

的焦点为

为坐标原点, 直线

与抛物线

相交于

两点.

(I)当

时, 求证:

(II)若

点

关于直线

的对称点为

求

的取值范围.

图21：练习题20

21.(2019.4学考T24(II))如图23, 不垂直于坐标轴的直线与抛物线

有且只有一个公共点

若直线

与圆

相切于点

求

的最小值.

图22：练习题21

22.(2019.1学考T24(II))如图23, 已知抛物线

的焦点为

为该抛物线上一点, 过

且与

相切的直线

与抛物线

交于

两点,

是线段

中点. 若点

在以线段

为直径的圆上, 求直线

的方程.

图23：练习题22

23.(2018.11学考T24)已知抛物线

的焦点是

准线是

(I)写出

的坐标和

的方程;

(II)已知点

若过

的直线交抛物线

于不同两点

(均与

不重合), 直线

分别交

于点

求证：

图24：练习题23

24.(2018.6学考T24)如图25, 直线

不与坐标轴垂直, 且与抛物线

有且只有一个公共点

(I)当点

的坐标为

时, 求直线

的方程;

(II)设直线

与

轴的交点为

过点

且与直线

垂直的直线

交抛物线

于

两点, 当

求点

的坐标.

图25：练习题24

25.(2018.4学考T24)如图26, 已知抛物线

与

轴相交于

两点,

是该抛物线上位于第一象限的点.

(I)记直线

的斜率分别为

求证

为定值;

(II)过点

作

垂足为

若

关于

轴的对称点恰好在直线

上, 求

的面积.

图26：练习题25

26.(2017.11学考T24)如图27, 抛物线

与直线

交于

两点.

为该抛物线上异于

的任意一点, 直线

与

轴,

轴分别交于点

直线

与

轴,

轴分别交于

(I)求

两点的坐标;

(II)证明:

关于原点

对称;

(III)设

的面积分别为

若点

在直线

的下方, 求

的最小值.

图27：练习题26

27.(2017.4学考T24(II))已知抛物线

上有点

过点

的直线与抛物线

交于

两个不同的点(均与点

不重合), 设直线

的斜率分别为

求证：

为定值.

图28：练习题27

解答

19.比较简单.

解 (I)

代入

知

所以

(II)根据结论3, 很容易求出

与

联立可知

同理可得

于是

故

所以

20.第一问比较简单.

解1 (I)设

由于

而当

时,

所以

故

在解第一问的过程中我们发现,

等价于

这意味着直线

过定点

此时, 作为一道解答题, 我们当然很想表示出

的位置, 自然是找出

到

的垂线段然后倍长, 于是就有了常规做法.

(II)因为

所以

故

故

过定点

于是

设

与

的交点为

则

是

中点, 且

所以有

将其与

联立, 可知

的坐标为

所以

又知

且

所以

所以

在这个解答中, 我们其实弱化了定点

的作用. 实际上,

这意味着

在直线变动过程中是个定值, 而

也是定值, 而

与要求的

恰好组成三角形的三边. 于是我们只需讨论

的大小, 而

恰好是角平分线, 于是所有线索串了起来.

解2 (I)略.
(II)因为

所以

故

故

过定点

故

且

显然

是

的角平分线, 而

满足且只需满足不垂直于坐标轴, 故

于是

所以

21.思路很多. 设直线

点

都行, 可以直接求

也可以转化求

的最小值, 这里我们采取设点

直接求

的做法

解设

则

故

与坐标轴的交点为

由结论3,

于是

做到这里设

之一为

另一个为

然后求导就可以了. 不过我们也可以用不等式解, 需要一点技巧.

当

即

即

时取等, 所以

的最小值为

22.可以设

求出切线在确定

也可以先设

添加

与

相切的条件.

在以

为直径的圆上自然转化为

这里我们采取设

的方法.

解设

则

与

联立得

其中

是方程的解所以

故

于是由于

在以

为直径的圆上, 故

即

即

故

故

或

23.比较简单.

解 (I)

(II)设

则根据结论1,

故

同理

故

故

证毕！

24.比较简单. 这里考虑到切线先设

点, 然后推出直线

然后算

解 (I)由结论2, 易知方程为

即

(II)设

由结论2,

所以

故

与

联立, 知

其中

为方程的两根, 故

故

而

故由

知

故

故

或

25.比较简单. 注意到(I)提示了(II)要考虑斜率.

解 (I)

所以

(II)因为

关于

轴的对称点在

上, 故

因为

所以

因为

所以

故

故

故

故

故

为直角三角形. 所以

26.比较简单.

证明与解 (I)抛物线方程中代入

知

故

所以

(II)设

故

故

关于原点对称, 证毕！

(III)由于

在

下方, 故

故

而

故

设

则

当

即

时取等. 故所求最小值为

27.比较简单.

证明设

在直线上, 故

所以

为定值, 证毕！

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“关于抛物线大题的参考经验”系列

关于抛物线大题的参考经验（2）：浙江高考真题回顾

关于抛物线大题的参考经验（3）：2019全国其他地区高考真题回顾

关于抛物线大题的参考经验（4）：2020年初浙江各地期末题回顾

关于抛物线大题的参考经验（6）：全国高中数学联赛题回顾