静电场中的导体和电介质

静电场中的导体

静电感应：当导体受到外电场作用时，不论原导体是否带电，导体中的自由电子在外电场的作用下，将相对于晶体点阵作宏观运动，引起导体上的电荷重新分布

导体静电平衡导体表面和内部都没有电荷作定向运动

导体的静电平衡

静电平衡的条件

电场角度

导体内部任意点的场强为0.
此处所说的场强为外加电场和内部感应电荷产生的附加电场叠加的总场强
E⃗=E⃗外+E⃗感=0\vec E=\vec E_外+\vec E_感=0E=E外+E感=0
解释：若E⃗\vec EE不为0，则自由电荷将继续作定向移动，不符合静电平衡定义
导体表面附近的场强方向处处与表面垂直
解释：若表面场强有与导体表面平行的分量，则表面的自由电荷将因之移动，则不满足静电平衡的定义

电势角度

1.整个导体是等势体；
2.导体表面是等势面。
由整个导体内部的电场强度为0易证；

处于静电平衡的导体的性质

导体是等势体，导体表面是等势面。
导体内部处处没有未被抵消的净电荷，净电荷只出现在导体的表面上
导体以外，靠近导体表面的场强大小只与此处的面电荷密度有关，E=σε0E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}E=ε0σ

说明:
对于2：
据∮sE⃗⋅dS⃗=∫vρedVε0\oint_s \vec E \cdot d\vec S=\frac{\int_v\rho_edV}{\varepsilon_0}∮sE⋅dS=ε0∫vρedV由于内部电场强度为0，因此，内部电荷密度也为0

导体表面上的电荷分布

导体表面的电荷分布情况由导体的形状和周围的其他带电体共同决定。
而静电场中的孤立导体其面电荷密度只与该处表面的斜率有关，其中越尖锐突出的部分，电荷面密度越大，反之则越小。即：
σ∝1R\sigma \propto \frac{1}{R}σ∝R1
证明：
用导线连接两个导体球

则uR1=uR2u_{R_1}=u_{R_2}uR1=uR2即Q14πε0R1=Q24πε0R2\frac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0R_1}=\frac{Q_2}{4\pi \varepsilon_0R_2}4πε0R1Q1=4πε0R2Q2
∵Q=σ4πR2\because Q=\sigma 4\pi R^2∵Q=σ4πR2
∴σ1σ2=R2R1\therefore {\sigma_1 \over \sigma_2}={R_2\over R_1}∴σ2σ1=R1R2
导体表面电场：
ϕe=E⋅dS⋅cos0=σdsε0\phi_e=E\cdot dS\cdot cos0={\sigma ds\over \varepsilon_0}ϕe=E⋅dS⋅cos0=ε0σds
据此：E=σε0E={\sigma\over\varepsilon_0}E=ε0σ

导体壳和静电屏蔽

导体空腔内无带电体的情况

腔体内表面不带电量，腔体外表面所带的电量为带电体所带的总电量。导体上电荷面密度的大小与该处表面的斜率有关。

空腔内有带电体

腔体内表面多带电量和腔内带电体所带的电量等量异号，腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定

静电屏蔽

封闭导体壳（不论接地与否）内部的电场不受外电场的影响；
封闭的接地导体壳外部的电场不受壳内电荷的影响

有导体存在时场强和电势的计算

已知：导体板A，面积为S、带电量Q，在其旁边放入导体板B。
求：
(1)A、B上的电荷分布及空间的电场分布
(2)将B板接地，求电荷分布
a点 σ12ε0−σ22ε0−σ32ε0−σ42ε0=0{\sigma_1\over 2\varepsilon_0}-{\sigma_2\over 2\varepsilon_0}-{\sigma_3\over 2\varepsilon_0}-{\sigma_4\over 2\varepsilon_0}=02ε0σ1−2ε0σ2−2ε0σ3−2ε0σ4=0
b点σ12ε0+σ22ε0+σ32ε0−σ42ε0=0{\sigma_1\over 2\varepsilon_0}+{\sigma_2\over 2\varepsilon_0}+{\sigma_3\over 2\varepsilon_0}-{\sigma_4\over 2\varepsilon_0}=02ε0σ1+2ε0σ2+2ε0σ3−2ε0σ4=0
A板σ1s+σ2s=Q\sigma_1s+\sigma_2s=Qσ1s+σ2s=Q
B板σ3s+σ4s=0\sigma_3s+\sigma_4s=0σ3s+σ4s=0
σ1=σ2=σ4=Q2S\sigma_1=\sigma_2=\sigma_4={Q\over 2S}σ1=σ2=σ4=2SQ
σ3=−Q2S\sigma_3=-{Q\over 2S}σ3=−2SQ

问：已知R1,R2,R3,q,QR_1,R_2,R_3,q,QR1,R2,R3,q,Q
（1）电荷及场强分布；球心的电势及空间的电势分布；
（2）如用导线连接A、B，再作计算
解：（1）由高斯定理得E={0r<R1∣∣R2<r<R3q4πε0r2R1<r<R2Q+q4πε0r2r>R3E=\begin{cases}0&r<R_1||R_2<r<R_3\\{q\over 4\pi\varepsilon_0 r^2}&R_1<r<R_2\\ {Q+q\over4\pi\varepsilon_0r^2} &r>R3\end{cases}E=⎩⎪⎨⎪⎧04πε0r2q4πε0r2Q+qr<R1∣∣R2<r<R3R1<r<R2r>R3
再对各区域求积分即可
（2）导体连接后只有外球壳的外表面带电
E={0r<R3Q+q4πε0r2r>R3E=\begin{cases}0&r<R_3\\{Q+q\over 4\pi\varepsilon_0r^2}&r>R_3\end{cases}E={04πε0r2Q+qr<R3r>R3
同理，积分可得电势强度

问：点电荷 Q 放在半径为 R1, R2 的两同心导体球壳之间,且两球壳都接地。则两球壳是否带电？求两球壳上的感应电荷各是多少?
解：令内球壳带电量为q_1,外球壳带电量为q_2则据高斯定理可得（1）式：
∮sE⃗⋅dS⃗=q1+q2+q3ε0=0\oint_s\vec E\cdot d\vec S={q_1+q_2+q_3\over \varepsilon_0}=0∮sE⋅dS=ε0q1+q2+q3=0也即q1+q2+Q=0q_1+q_2+Q=0q1+q2+Q=0
又有因为内球壳接地，因此，球心电势为0，据此得到二式子:
U=14πε0(Qr+q1R1+q2R2)=0U={1\over4\pi\varepsilon_0}(\frac{Q}{r}+\frac{q_1}{R_1}+\frac{q_2}{R_2})=0U=4πε01(rQ+R1q1+R2q2)=0
据此解得：
q1=−QR1(R2−r)(R2−R1)q_1=-{QR_1(R_2-r)\over(R_2-R_1)}q1=−(R2−R1)QR1(R2−r) q2=−QR2(r−R1)(R2−R1)q_2=-{QR_2(r-R_1)\over(R_2-R_1)}q2=−(R2−R1)QR2(r−R1)

静电场中的电介质

电介质

无极分子：分子正负电荷中心重合
有极分子：分子正负电荷中心不重合

M⃗=pe⃗×E⃗外\vec M=\vec {p_e}\times \vec E_{外}M=pe×E外
p⃗e\vec p_epe转向外电场两端面出现极化电荷面

电极化强度和极化电荷

电极化强度（矢量）

P⃗=∑p⃗iΔV\vec P={\sum{\vec p_i} \over \Delta V}P=ΔV∑pi

极化电荷和极化强度的关系

(1)均匀介质极化时，其表面上某点的极化电荷面密度等于该处电极化强度在外法线上的分量
σ′=Pn\sigma'=P_nσ′=Pn
(2)在电场中，穿过任意闭合曲面的极化强度通量等于该闭合面内极化电荷总量的负值
∮sP⃗⋅dS⃗=−∑sqi′\oint_s\vec P\cdot d\vec S=-\sum_sq_i'∮sP⋅dS=−s∑qi′

电介质中的电场

据实验总结我们有结论：P⃗=ε0χE⃗\vec P=\varepsilon_0\chi\vec EP=ε0χE
令εr=1+χ\varepsilon_r=1+\chiεr=1+χ
则有E=E0εrE={E_0\over \varepsilon_r}E=εrE0

电介质中的高斯定理

据{∮sE⃗⋅dS⃗=∑qiε0∮sP⃗⋅dS⃗=−∑sqi′\begin{cases}\oint_s\vec E \cdot d\vec S={\sum q_i \over \varepsilon_0}\\\oint_s\vec P\cdot d\vec S=-\sum_sq_i'\end{cases}{∮sE⋅dS=ε0∑qi∮sP⋅dS=−∑sqi′
可得：
∮s(ε0E⃗+P⃗)dS⃗=∑q\oint_s(\varepsilon_0\vec E +\vec P)d\vec S=\sum q∮s(ε0E+P)dS=∑q
我们令其中的ε0E⃗+P⃗=D⃗=ε0εrE⃗=εE\varepsilon_0\vec E+\vec P=\vec D=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec E=\varepsilon Eε0E+P=D=ε0εrE=εE,其中D⃗=εE\vec D=\varepsilon ED=εE即为电位移矢量
据此我们可以得出介质中的高斯定理
∮SD⃗⋅dS⃗=∑q\oint_S\vec D\cdot d\vec S=\sum q∮SD⋅dS=∑q

电容与电容器

电容：使导体升高单位电势所需的电量

孤立导体的电容

孤立导体：附近没有其他导体和带电体

孤立导体的电容取决于导体的几何形状以及周围的电介质。
其中孤立球体的电容就为C=4πεRC=4\pi\varepsilon RC=4πεR

电容的单位：法拉，微法拉，皮法拉
1F=106μF=1012pF1F=10^6\mu F=10^{12}pF1F=106μF=1012pF

电容器及电容

电容器的电容

电容器：导体组合，使之不受周围导体的影响

电容器的电容：当电容器的两极板分别带有等值异号电荷q时，电量q与两极板间相应的电势差uA−uBu_A-u_BuA−uB的比值
C=qua−ubC={q\over u_a-u_b}C=ua−ubq

几种常见电容器的电容公式：
平行板电容器：C=εSdC={\varepsilon S\over d}C=dεS
同心球型电容器：C=4πεRARBRB−RA(RB>RA)C={4\pi\varepsilon R_AR_B\over R_B-R_A}(R_B>R_A)C=RB−RA4πεRARB(RB>RA)
同轴圆柱型电容器
C=2πεlln(RB/RA)C={2\pi\varepsilon l\over ln(R_B/R_A)}C=ln(RB/RA)2πεl

电容器的串并联

串联：
1C=1C1+1C2+……1Cn{1\over C}={1\over C_1}+{1\over C_2}+……\frac{1}{C_n}C1=C11+C21+……Cn1
并联：
C=C1+C2+……+CnC=C_1+C_2+……+C_nC=C1+C2+……+Cn

电场的能量

电容器储能

根据dA=udq,u=qcdA=udq,u=\frac{q}{c}dA=udq,u=cq
A=∫oQqCdq=Q22CA=\int_o^Q\frac{q}{C}dq={Q^2\over2C}A=∫oQCqdq=2CQ2
因此，电容器的电能即为：
W=Q2C=12QU=12CU2W=\frac{Q}{2C}=\frac{1}{2}QU=\frac{1}{2}CU^2W=2CQ=21QU=21CU2

电场能量

平行板电容器

据W=12CU2=12εSd(Ed)2=12εE2VW=\frac{1}{2}CU^2=\frac{1}{2}{\frac{\varepsilon S}{d}(Ed)^2}={1\over 2}\varepsilon E^2VW=21CU2=21dεS(Ed)2=21εE2V
得：电场能量密度为：
w=WV=12εE2w={W\over V}=\frac{1}{2}\varepsilon E^2w=VW=21εE2
据上式：
W=∫VdW=∫V12εE2dvW=\int_VdW=\int_V\frac{1}{2}\varepsilon E^2dvW=∫VdW=∫V21εE2dv

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