【51Nod1386】双马尾机器人(分块+dp)
对于这种找互质的数的集合的题,一般是讨论每个数的质因子会不会有重复。
听说这种互质的题把质因子分为小于 n\sqrt{n}n 和大于 n\sqrt{n}n 是经典套路?
因为当 nnn 很小的时候,小于 n\sqrt{n}n 的质数并不多。比如对于这一题,小于 N=1000\sqrt{N=1000}N=1000 的数只有 111111 个。
那么对于那些只有小于 N\sqrt{N}N 的质因子的数进行状压 dp,设 dp(i,j)dp(i,j)dp(i,j) 为前 iii 个数中,所有选出的数的所有质因子的状态为 jjj(只考虑小于 N\sqrt NN 的质因子)。
jjj 的定义:如果选出的数的所有质因子中出现了第 kkk 个质数,那么把 jjj 在二进制下的第 kkk 位设为 111,否则为 000。
例如,如果出现了 222(第 111 个质数)、555(第 333 个质数)和 777(第 444 个质数的话),jjj 就应该是 (1101)2(1101)_2(1101)2。
那么假设 dp(i−1)dp(i-1)dp(i−1) 都已经计算完毕,现在要计算 dp(i,j∣sta[i])dp(i,j|sta[i])dp(i,j∣sta[i]),其中 jjj 是某个状态,sta[i]sta[i]sta[i] 是 iii 的质因子状态。那么现在考虑的是状态 j∣sta[i]j|sta[i]j∣sta[i]。
dp(i,j∣sta[i])=dp(i−1,j∣sta[i])dp(i,j|sta[i])=dp(i-1,j|sta[i])dp(i,j∣sta[i])=dp(i−1,j∣sta[i])。意思就是前 i−1i-1i−1 个数中已经选出了状态 j∣sta[i]j|sta[i]j∣sta[i],那么数 iii 肯定不能在加入这个方案内(不然不互质),所以选的数不增不减。
dp(i,j∣sta[i])=dp(i−1,j+1−(maxpi>11))dp(i,j|sta[i])=dp(i-1,j+1-(maxp_i>11))dp(i,j∣sta[i])=dp(i−1,j+1−(maxpi>11))。意思就是前 i−1i-1i−1 个数中已经选出了状态 jjj,那么现在肯定可以加入数 iii。但是由于我们这里只考虑加入质因子都小于 N\sqrt{N}N 的情况,所以要减去一个 maxpi>11maxp_i>11maxpi>11。
现在对只有小于 N\sqrt{N}N 的质因子的数都处理完了,那么对于含有大于 N\sqrt{N}N 的质因子的数怎么处理呢?(不妨设所有大于 N\sqrt{N}N 小于 NNN 的质数有 mmm 个)
不难发现,这些数恰好仅含有一个大于 N\sqrt{N}N 的质因子。所以我们至少要选 mmm 个数才能保证是“极大方案”。又因为要保证选的数最少,所以要恰好选 mmm 个就行了。
最后可以把 111 也取上。
代码:
#include<bits/stdc++.h>#define N 1010
#define INF 0x7fffffffusing namespace std;int t,n,k;
int cnt,prime[N],maxp[N],sta[N];
int dp[2][1<<12];
bool notprime[N];void init()
{for(int i=2;i<=1000;i++){if(!notprime[i]){prime[++cnt]=i;maxp[i]=cnt;sta[i]=(cnt<=11?(1<<(cnt-1)):0);}for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=1000;j++){int v=i*prime[j];notprime[v]=true;maxp[v]=max(maxp[i],j);sta[v]=sta[i]|(j<=11?(1<<(j-1)):0);}}
}int main()
{init();scanf("%d",&t);for(int T=1;T<=t;T++){scanf("%d%d",&n,&k);int m=1;while(prime[m]<=n) m++;m--;int tmp=max(0,m-11);m=min(m,11);int mpow=(1<<m);for(int i=0;i<mpow;i++) dp[0][i]=INF;dp[0][0]=0;int now=1;for(int i=1;i<=n;i++,now^=1){for(int j=0;j<mpow;j++) dp[now][j]=dp[now^1][j];if(i==k) continue;for(int j=0;j<mpow;j++)if(!(j&sta[i])&&dp[now^1][j]!=INF)dp[now][j|sta[i]]=min(dp[now^1][j|sta[i]],dp[now^1][j]+1-(maxp[i]>11));}printf("Case #%d: %d\n",T,dp[now^1][mpow-1]+tmp+(k!=1));}return 0;
}
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