最优分配问题——拍卖算法

现在面临一个问题。

有三个人，A、B、C：

有三个物品，1、2、3：

需要将这三个物体分给三个人，每人一个。每个人对三个物品的喜好不同，要怎样分配才能让三个人的总满意度最高？

分配问题 广泛存在于生产和生活中。例如为一组工作人员分配任务，或者为作战小组分配进攻目标等等。在分配过程中，精明的分配者一定会实现某个目的，例如让每个工作人员充分发挥专长，最高质量地完成任务；或者为每个作战小组分配相距最近的进攻目标，最快速地结束战斗。怎样分配能实现这些目的，就是分配问题的解。

拍卖算法是用来解决这类问题的经典算法，灵感来自于经济活动中的拍卖过程，是一种能够在有限步计算中获得最佳分配的算法。

回到我们开始时的例子。A先生擅长球类运动，滑板也略有涉及，但是对在海浪里穿梭这项运动并不感冒。因此A先生最想要网球拍，有点想要滑板，完全不想要冲浪板。根据三个物品对于A先生的重要性，我们为这三项物品打分为4、2、0。在这个例子中，我们打分并没有复杂的规则：某人想要某件物品的愿望越迫切，打分越高。同样，其余两位也表达了自己的喜好。于是我们得到了下面这张图。

图中线上的数字表示某人对某物品的打分，也就是喜好。从物品的角度而言，线上的数字代表如果某一个物体被分配给了某个人，将会给这个人带来多少好处(即，价值 Value，文献中常用 $\alpha_{ij}$ 表示 j 物品分配给第 i 个人的价值)。

为了实现总体满意度最高的分配，三位先生坐在一起竞争物品的归属。按照商业原则，当我们和竞争对手想买同一件物品时，我们必须付比对手更多的钱(即，价格 Price，文献中常用 $p_j$ 表示 j 物品的价格)，才能将物品据为己有。于是三位先生开始对物品报价。

在首次出价之前，三个物品的起拍价都是0。

A先生首先出价。对于A先生而言，目前三个物品的价格都是0。如果A先生选择购买1物品，那么花费0元购得4点的价值，A先生这笔交易的收益(即，净利润 Profit) 为 $4-0=4$ 。

重要公式1: 收益计算公式 $profit=value-price$

A先生购买1、2、3三个物品的收益分别为4、2、0。算法为每个人赋予了自利性，即总是选择收益最高的物品，这也是算法最终得到最优解的重要保证。基于自利性，A先生选择了1物品，并对1物品报价，提高了它的价格。价格提高的幅度在 $\varepsilon$ 到 $\pi+\varepsilon$ 之间，即每次报价最少比原来提高 $\varepsilon$ ，最多比原来提高 $\pi+\varepsilon$ (增幅范围的意义和 $\pi$ 的详细计算将在下文中阐述，本例中选取 $\varepsilon =0.3$ )。

重要公式2：报价计算公式 $price_{old}+\varepsilon \leq price_{new} \leq price_{old}+\pi+\varepsilon$

A先生将物品1的价格提高到 $2+\varepsilon$ ，局面变成了下图。

B先生开始报价。他购买1、2、3三个物品的收益分别是 -1.3、3、1。由于A先生的提价，1物品的价格已经高于1物品能够提供给B先生的价值，因此B先生不会再考虑1物品。B先生选择了收益最高的2物品，并提升了它的价格至 $2+\varepsilon$ ，如下图所示。

C先生开始报价。他购买1、2、3三个物品的收益分别是 0.7、0.7、2。根据自利性，C先生选择3物品，并修改3物品的价格为 $1.3+\varepsilon$ ，如下图所示。

到此步为止，所有人都得到了分配，算法终止。分配结果中，总体满意度(喜好值的和)为 $4+3+2=9$ ，是在所有分配方案中总体满意度最高的方案。

算法停止条件：当每个人都获得分配或者每个人购买所有物品的最大收益都不大于0。

还有一个疑问，我们应该如何控制报价的增长？

如果我们不限制报价增长幅度的下限，那么当两个人对同一物品展开竞价时，价格提升的会很慢，甚至完全没有提升，竞价将会永无止境的持续下去；

如果我们不限制报价增长幅度的上限，那么一次报价就可能使物品的价格超过价值，导致无法参与后续的拍卖。

因此我们限制报价增幅的上下限。

重要推论1：对于n人n物品的分配，当价值 $\alpha _{ij}$ (即图中横线上标注的数字)为整数时，若

$\varepsilon < \frac{1}{n}$

则算法结束时获得最优解。

在上例中，有3个人参与分配， $n=3$ ，因此我们选取 $\varepsilon = 0.3 < \frac{1}{3}$

重要公式3：如果除了当前要提价的 j 物品之外，没有其它能够提供正收益的物品，则

$\pi = \alpha_{ij} - p_j$

如果除了当前要提价的 j 物品之外，还有一个物品 k ，购买它产生的收益仅次于物品 j，则

$\pi = \alpha_{ij} - p_j - ( \alpha_{ik} - p_k)$

例如在第一步A先生提价的过程中，最高收益来自于1物品，收益为4。物品2也提供大于零的收益，为2，仅次于1物品提供的收益。由公式3可以得到

$\pi = 4 - 0 - ( 2 - 0)=2$

由于提价过程中给出的是一个范围，在设计算法时，一般采用上限值 $\pi + \varepsilon$ 作为提价的幅度，因为提价的幅度越高，算法结束的越快。在许可的范围内取最大幅度，即可保证最优性，又可以加快算法速度。

扩展阅读：

拍卖算法的开山之作：

Dimitri P. Bertsekas, A Distributed Algorithm for the Assignment Problem, 1979

论文链接：http://web.mit.edu/dimitrib/www/Orig_Auction.pdf

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