清北学堂第一题游乐园 SmartOJ 1815（二分查找的精髓）

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题目描述

游乐园里新推出一个游戏——飞机驾驶体验。有N-1个小朋友来玩这个游戏，他们排成长长的一列。这个游戏一共有M架“飞机”可供驾驶，每架飞机的使用时间都是有限制的，第i架“飞机”的使用时间是si分钟。
一开始所有“飞机”都是闲置着的，然后排队等候着的小朋友依次上“飞机”。如果有飞机闲置，则小朋友一定会上去玩(小朋友不会在意飞机使用的时间)；如果同时有多架“飞机”闲置着，小朋友一定会选择标号最小的那架。
现在你带着你的弟弟来到了游乐园，排到了最后一个位置。你想知道你弟弟会在哪架“飞机”上体验。

输入格式

第一行两个数N和M。
接下来一行M个数，第i个表示si。

输出格式

输出一个数，表示你弟弟会坐上哪架飞机。

样例输入

22 5

1 2 3 4 5

样例输出

数据范围与提示

数据规模对于30% 的数据 N≤1 000 000；对于100% 的数据 1≤N≤1 000 000 000，1≤M≤1 000。

数据范围如此之庞大，循环暴力解决是绝对不行的！！！！！！！！就连单层循环都不允许~~~~~为此我哭了一阵！！！

程序代码解析

解析：

（1）如果完成一件事一次需要b分钟，那么如果总共用n分钟，那么共完成了几次，第n分钟正在做第几次（不一定完成）。

技巧：①共完成了n/b次。

②n分钟正在做第(n+b-1)/b次。

②证明：假设n/b=k,n%b=y;

那么，可知如果y==0，那么总共就做了k次，且第k次恰好完成；如果y!=0，那么总共做了k+1次，但是第k+1次正在做，还没有完成。

为了避免余数的讨论，进行这样的处理(n+b-1)/b。

而：（n+b）/b与n/b是等效的，只是商k+1而已。

如果原先n恰好足够b，那么n-1一定不足b，(n-1)%b=y-1。

故在原来的基础上加上一个b-1之后，与原来等价。不足b时结果加1.

（2）二分法的精髓：二分并不一定局限于对有序数列的查找，对于无需数列，可以转换角度建立二分模型，将不能二分的情况转化为二分的模型，如本题中用下标与总时间建立模型进行二分。当然这建立在（1）可求的基础上。

以下代码摘自：http://blog.163.com/sentimental_man/blog/static/730016182011931103428207/

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
typedef long long I64;
const int MAXN = 1001;
const int INF = 0x7fffffff;
int g_n, g_m, g_time[MAXN], g_min;

//输入并找出最小值
void Input()
{
    scanf("%d%d", &g_n,&g_m);
    int i;
    g_min = INF;
    for (i = 0; i < g_m; i++)
    {
        scanf("%d",&g_time[i]);
        if (g_time[i] < g_min) g_min =g_time[i];
    }
}
I64 GetNumber(I64 minite) //统计minite分钟内能容纳小朋友的总人数
{
    int i;
    I64 number = 0;
    for (i = 0; i < g_m &&number < g_n; i++)
        number += (minite + g_time[i] -1) / g_time[i];      //用的就是技巧(1)
    return number;
}
I64 FindTime() //找到n这个人玩飞机的时间
{
    I64 l, r, mid, num;
    l = 0, r = ((I64) g_min) * g_n; //开始的时候这边忘记类型转化，导致数据溢出，第五组数据一直过不了！在整数和长整数混用时一定要注意！
    while (l < r)
    {
        mid = (l + r) / 2;
        num = GetNumber(mid);
        if (num >= g_n)
            r = mid;
        else
            l = mid + 1;
    }
    return r;
}
int FindId(I64 minite) //寻找所玩飞机的编号
{
    int i;
    I64 t_n = g_n;
    t_n -= GetNumber(minite - 1);      //得出最后一分钟内有多少个小朋友正在玩飞机
    minite--;
    for (i = 0; i < g_m; i++)
    {
        if (minite % g_time[i] == 0)    //如果求余为0，那么一定会有小朋友上飞机
        {
            t_n--;
            if (t_n == 0) return i + 1;
        }
    }
    return -1;
}
int main()
{
    Input();
    I64 time = FindTime();     //先二分找出n这个人玩飞机的时间
    int id = FindId(time);      //根据这个时间找出n小朋友玩的飞机
    printf("%d\n", id);
// system("pause");
    return 0;
}

时间复杂度基本能达到O(log(2,n))；

我带着Orz的心情笑了！！！！！！！！！！！~~~

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