全排列，逆序数与行列式的二三事

行列式计算

在线性代数中，我们接触到了行列式的定义及相关计算，现在我们可以用C语言来帮助我们实现行列式的计算

一起来把这个顽固的行列式算出来(╯‵□′)╯︵┻━┻

行列式计算方式

首先先来回顾一下行列式的计算方式

行列式由定义可知行数和列数相同。对于一个n阶行列式，其行数和列数都是n

a i j 代表行列式中第 i 行第 j 列的元素

行列式的计算公式

其中 p1p2 ··· pn 为自然数 1, 2, ··· , n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数

该公式代表对p1p2 ··· pn所有排列对应的若干项求和，排列数即为项数

那么我们可以将 p1p2 ··· pn 看作n个数在n个数位上进行全排列，然后再执行相应的计算

也就是说，行列式计算需要三步

全排列

在之前的排列专题文章中，已介绍了比较法，记录法，交换法三种排列方法，故这里不再多介绍。

由于行列式行数列数相等，所以排列是全排列，且只是计算就不用考虑按序输出排列，因而推荐使用较快的交换法。

逆序数

比较法

比较法顾名思义就是按照定义，依次将某数前面的数和它比较大小

#include<stdio.h>
void compare(int digit[],int n);int cnt=0;//用于给逆序数计数 int main()
{int n;printf("数的个数："); scanf("%d",&n);int digit[n];printf("数："); for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&digit[i]);compare(digit,n);printf("逆序数：%d",cnt);
} void compare(int digit[],int n)
{for(int i=0;i<n;i++)//i是当前的数的位置 {for(int j=0;j<i;j++)//j是当前的数前面的数的位置 {if(digit[j]>digit[i]) cnt++;}}
}

运行效果图

归并法

归并法利用到了归并排序进行逆序数计算。在之前排序专题的推文中我们已介绍了归并排序。

在这里我们简单回顾一下归并排序的思想。根据分治法的思想，归并排序就是“先分再合”。

先将一个数组无限地一分为二直至不能再分。然后在合并数组的过程中，将每次分割的两个子数组中的元素进行比较，根据顺序依次将元素放到新数组中。重复此步骤直至合并成原来数组的长度。

那么在合并数组过程中的数组元素比较就可以顺便计算逆序数。

#include<iostream>
using namespace std;void mergesort(int temp_digit[],int L,int R);int cnt=0;//用于给逆序数计数 int main()
{int n;cout<<"排序的数的个数：";cin>>n;int temp_digit[n];cout<<"准备排序的数：";for(int i=0;i<n;i++) cin>>temp_digit[i];mergesort(temp_digit,0,n-1);cout<<"经排序过的数：";for(int i=0;i<n;i++) cout<<temp_digit[i]<<" ";cout<<endl<<"逆序数："<<cnt;
} void mergesort(int temp_digit[],int L,int R)//L,R分别为当前数组的首尾位置
{if(L==R) return;//当数组只剩一个数（无法再分割时），返回 int middle=(L+R)/2;//将当前数组一分为二mergesort(temp_digit,L,middle);//对子数组同样一分为二，直到数组无法再分割 mergesort(temp_digit,middle+1,R);int temp[R-L+1];//临时数组，用于暂时存放排好序的数//达到排序并合并两子数组的效果 int pos1=L,pos2=middle+1,pos3=0;//pos1是在子数组1中的当前位置//pos2是在子数组2中的当前位置//pos3是在临时数组中的当前位置 while(pos1<=middle&&pos2<=R){//两子数组中的数进行比较，较小的数放在临时数组前面 if(temp_digit[pos1]<=temp_digit[pos2]) {temp[pos3++]=temp_digit[pos1++];}else{temp[pos3++]=temp_digit[pos2++];cnt+=middle-pos1+1;//当子数组2当前位置的数比子数组1当前位置的数小时（不能有等于）//子数组1中剩余的数的个数加入逆序数计数中 }} while(pos1<=middle)//将比较后子数组1剩余的数放进临时数组 {temp[pos3++]=temp_digit[pos1++];}    while(pos2<=R)//将比较后子数组2剩余的数放进临时数组 {temp[pos3++]=temp_digit[pos2++];}for(int i=0;i<pos3;i++)//将临时数组排好序的数放回原数组{temp_digit[L+i]=temp[i];}
}

运行效果图

公式计算

结合全排列，逆序数，公式即可进行行列式计算

下面的代码以交换法实现全排列和归并法实现逆序数计算为例，这样当行列式阶数n较大时，计算速度相对较快

#include<stdio.h>void swap(int *,int*);
void arrange(int [],int [],int [],int,int);
void mergesort(int [],int,int);int cnt=0;//cnt用于逆序数计数
int term_cnt=0;//term_cnt用于项数计数
int ans=0;//ans为行列式计算结果int main()
{int n;printf("行列式阶数：");scanf("%d",&n);int digit[n];int temp_digit[n];//temp_digit是digit的临时副本，用于给归并法排序来算逆序数 int det[n*n];//为方便将数组传入函数，用一维数组det存储行列式元素 //行列式中i行j列元素为数组det中第i*n+j个元素 printf("\n行列式：\n");for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++){scanf("%d",&det[i*n+j]);}}for(int i=1;i<=n;i++){digit[i-1]=i;}printf("\n行列式计算式的项：\n");arrange(det,digit,temp_digit,n,0);printf("\n行列式计算式项数：%d\n\n",term_cnt);printf("行列式计算结果为：%d",ans);return 0;
}void swap(int *x,int *y)//交换
{int temp;temp = *x;*x = *y;*y = temp;
}void arrange(int det[],int digit[],int temp_digit[],int n,int pos)
{//arrange是用交换法对a1p1 a2p2...anpn（n和pn都是下标）中的p1p2...pn进行全排列 if(pos==n-1)//到最后一位时，开始套公式计算行列式 {int term=1;//term重置为1 for(int i=0;i<n;i++)//此处循环中的i+1是aij的i，digit[i]是j(在数组中下标都减一){term*=det[i*n+digit[i]-1];//term是当前的项 }//为了不改变原排列的顺序，需要用一个临时数组作为原排列的副本     for(int i=0;i<n;i++)temp_digit[i]=digit[i];cnt=0;//cnt重置为0 //将临时数组传入归并法，用于临时排序的同时计算逆序数 mergesort(temp_digit,0,n-1);term_cnt++;//项数+1 if(cnt%2==1)//若逆序数为奇数，则当前项前有负号 {printf(" -");ans=ans-term;}else if(cnt%2==0)//若逆序数为偶数，则当前项前有正号 {printf(" +");ans=ans+term;}for(int i=0;i<n;i++) {//用a(i,j)表示行列式中第i行第j列的元素//将每一项（包括前面的正负符号）输出，展现计算过程 printf(" a(%d,%d) ",i+1,digit[i]);if(i!=n-1) printf("*");}printf("\n");}else{for(int i=pos;i<n;i++)//i是当前位pos后面的位 {swap(digit+i,digit+pos);//digit[i]和digit[pos]交换 arrange(det,digit,temp_digit,n,pos+1);//进入到下一位的排列 swap(digit+i,digit+pos);//还原交换的两数 }}
}void mergesort(int temp_digit[],int L,int R)//L,R分别为当前数组的首尾位置
{if(L==R) return;//当数组只剩一个数（无法再分割时），返回 int middle=(L+R)/2;//将当前数组一分为二mergesort(temp_digit,L,middle);//对子数组同样一分为二，直到数组无法再分割 mergesort(temp_digit,middle+1,R);int temp[R-L+1];//临时数组，用于暂时存放排好序的数//达到排序并合并两子数组的效果 int pos1=L,pos2=middle+1,pos3=0;//pos1是在子数组1中的当前位置//pos2是在子数组2中的当前位置//pos3是在临时数组中的当前位置 while(pos1<=middle&&pos2<=R){//两子数组中的数进行比较，较小的数放在临时数组前面 if(temp_digit[pos1]<=temp_digit[pos2]) {temp[pos3++]=temp_digit[pos1++];}else{temp[pos3++]=temp_digit[pos2++];cnt+=middle-pos1+1;//当子数组2当前位置的数比子数组1当前位置的数小时（不能有等于）//逆序数计数加上子数组1中剩余的数的个数}} while(pos1<=middle)//将比较后子数组1剩余的数放进临时数组 {temp[pos3++]=temp_digit[pos1++];}  while(pos2<=R)//将比较后子数组2剩余的数放进临时数组 {temp[pos3++]=temp_digit[pos2++];}for(int i=0;i<pos3;i++)//将临时数组排好序的数放回原数组 {temp_digit[L+i]=temp[i];}
}

运行效果图

以a（i , j）表示行列式中第 i 行第 j 列元素

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