前言

在密码学中，求余是非常重要的操作，比如在DH算法中，就主要利用了求余的算法。本文就余数计算和相关性质进行介绍。

定义

给定 a,b,q,r∈Za, b, q, r \in \mathbb{Z}a,b,q,r∈Z, 其中 b≠0，0≤r≤bb \neq 0，0 \leq r \leq bb=0，0≤r≤b, 满足 q×b+r=aq \times b + r = aq×b+r=a，则称 rrr 是 aaa 除以 bbb 的余数，记作 a≡r(modb)a \equiv r \ (\mathrm{mod} \ b)a≡r (mod b)，（有时也记为 a÷b=q⋅⋅⋅ra \div b = q \cdot\cdot\cdot ra÷b=q⋅⋅⋅r）。当 r=0r = 0r=0 时，称 aaa 可以被 bbb 整除。

推理

根据 a÷b=q⋅⋅⋅ra \div b = q \cdot\cdot\cdot ra÷b=q⋅⋅⋅r，对表达式中的4个变量求法分别如下：
1）a=b×q+ra = b \times q + ra=b×q+r
2）b=(a−r)÷qb = (a - r) \div qb=(a−r)÷q
3）q=(a−r)÷bq = (a - r) \div bq=(a−r)÷b
4）r=amodbr = a \ \mathrm{mod} \ br=a mod b (程序中多表示为 aaa % bbb)

性质

给定 a,b,c,r∈Za, b, c, r \in \mathbb{Z}a,b,c,r∈Z 且 c≠0，0≤r≤cc \neq 0，0 \leq r \leq cc=0，0≤r≤c，则有以下三个性质。

性质1 若 amodc=bmodca \ \mathrm{mod} \ c = b \ \mathrm{mod} \ ca mod c=b mod c，则 (a−b)modc=0(a-b) \ \mathrm{mod} \ c =0(a−b) mod c=0。当 a−ba - ba−b 改为 b−ab - ab−a时，结论同样成立。
证明：根据以上结论，可设 a=k1c+r,b=k2c+ra = k_1c + r, b = k_2c+ra=k1c+r,b=k2c+r，其中 k1,k2k_1, k_2k1,k2 为系数，rrr 为余数，则 a−b=(k1c+r)−(k2c+r)=(k1−k2)ca-b=(k_1c + r) - (k_2c + r) = (k_1 - k_2)ca−b=(k1c+r)−(k2c+r)=(k1−k2)c，所以可以被 ccc 整除。
示例：如 22 mod 7 = 1, 15 mod 7 = 1，则(22-15) ÷\div÷ 7 = 0 或 (15-22) ÷\div÷ 7 = 0。

性质2 若 (a+c)modb=r(a + c) \ \mathrm{mod} \ b = r(a+c) mod b=r, 则 ((amodb)+(cmodb))modc=r((a \ \mathrm{mod} \ b) + (c \ \mathrm{mod} \ b)) \ \mathrm{mod} \ c = r((a mod b)+(c mod b)) mod c=r。当正号改为负号时，等式同样成立。
示例：如 (3 + 8) mod 5 = 1，而 ((3 mod 5) + (8 mod 5)) mod 5 = (3 + 3) mod 5 = 1。
当正号变负时，(3-8) mod 5 = 0, 而 ((3 mod 5) - (8 mod 5)) mod 5 = 0 mod 5 = 0。

性质3 (a×c)modb=(amodb)×(cmodb)(a \times c) \ \mathrm{mod} \ b = (a \ \mathrm{mod} \ b) \times (c \ \mathrm{mod} \ b)(a×c) mod b=(a mod b)×(c mod b) mod bbb。
示例：(7 ×\times× 9) mod 5 = 3，而((7 mod 5) ×\times× (9 mod 5)) mod 5 = (2 ×\times× 4) mod 5 = 3。
根据性质3，可以有个简单的推论：(ap(a^p(ap mod c)qc)^qc)q mod c=apqc=a^{pq}c=apq mod ccc.

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