the 2ed home work of mathematical modeling

团队：14 # 304 dormitory

persons 3360 0423107 fan Jing 0423114 Jiang LAN 0423115 Li linjian 0423116 Li Xia

March 21，2006

Collge of mathematical science，bnu

塑型in construction mathematical modeling

For: Prof. Zeng and TA Lee。

所有山区道路维修问题

一、摘要

这个问题旨在通过对复杂地形的勘探和分析、资金成本的考虑，探索开放凤山的最佳途径。找到最佳路径建设方案，将成本降至最低。

我们的主要想法是：从山脚下经过居民到矿山，必须通过峡谷，有一条小溪到达居民区，然后经过山脉到矿区。在经过市中心的地方，我们要修桥。考虑到山的坡度和修桥的昂贵费用问题，我们必须找到合适的路。因为路上坡度有限()，我们要尽量选择路通向山谷，尽可能地花费最低的费用。修桥的地方我们也考虑了坡度的可行性和表面最宽的部分与峡谷深度相结合的那个函数，找到河水比较窄的点，修桥所需的钱最少。后来，山峰修理一条隧道，我们要控制隧道的长度，使隧道长度尽量在300米以内，因为超过300米的费用是原来的两倍！我们通过考虑隧道长度、道路坡度和矿区高程，选择了通过隧道、通过山到矿山的路线。

最后，利用MATLAB映射、拟合函数计算路径长度，应用高速公路学和城市规划的一些原理分析，提出了将成本降至最低的可行方法。

关键字：隧道、桥梁、高程、坡度、费率

二、模型假设

我们认为凤山开放的地方主要在路线和价格方面寻找可行的途径，同时也是解决这个问题的最好办法。为了简化此问题，我们做了以下几个假设：

(1)，假设山足够光滑。

(2)，不考虑路面宽度。

(3)，流的最深部分位于x y=4800，(2400x4800)，该线是流的中心线。

(4)，桥梁的长宽度是河流的宽度。

基于对整体地形图和道路方向的理解，我们决定把道路分成四部分进行修改。一条从起点(0，800)开始，一条小溪，第二条是修桥和居住地的一条，第三条是居民到山峰，最后翻过山，到达矿区。

x，y坐标与标题匹配，z坐标设置空间的三维正交坐标系，以指示与给定x，y坐标对应的点的高程。根据标题中给定的数据，绘制了该地区的近似图，如下所示：

以下是分段设计成本和分段坡度(上升高程与水平距离的比率)的限制：

工程的种类

一般区段

桥梁

隧道

工程成本/(元/米)

300

2000

1500(长300米)

3000(长度？

坡度的限制

<0.125

=0

<0.100

第一条路属于一般路段，该路段的终点是桥，因此为了确定该路段，首先要确定桥的特定位置。

三、模型设计

(a)，选择桥梁位置

首先，假设在o-xy面上，流的中心连接投影到直线段x y=4800(2400x4800)。首先，我们假定桥的长度为流的宽度，流的宽度(流的最深部分)x的坐标关系可以近似如下：

这说明了小溪的宽度随着x的增加而增加的关系。再从水流左右道路的坡度要求来看，我们假定市中心的直线方程从点开始：首先在市中心高程z=800的位置建桥，所以临时确定市中心的位置在点之间。在这些高程处找到溪流中的相应点，以计算溪流的宽度：桥的坡度为零，因此在此点处，桥的两个下落点只能由两点和点a的两条线确定，为了方便起见，它垂直于具有直线横截面的o-xy面，为了创建桥的两个下落点，桥的宽度与最近的小溪宽度相匹配，通过计算得到，那么桥的实际高程为855，桥的实际宽度为82米。相反，我们解决的桥梁问题。

(b)，第一条路优化设计

您可以看到此道路的起点为m (0，800，650)，终点为。通过对整个数据的观测和计算，必须分别在x=400和x=800处找到高程z=700，750的点。为了简单计算，假设在x=400和x=800处，山形在两点之间是直线，则可以使用线段线连接这两点。其中，线段曲线的长度为：在Y=400的平面中，可以直接修改从x=1200到x=2400的道路，因此根据问题中的给定数据，沿道路的曲线拟合山(因为纵向的选择间距不同，所以更陡，但实际上不是)，如下图所示。

此曲线的函数为z=-2.0642 e-8 * x 3.125 e-5 * x 2 0.19167 * x 570，x介于1200和2400之间，线段曲线的长度为。

现在，我认为我们必须解决这条曲线的最后一段，通过对数据的观察，通过这条曲线。通过对坡度的计算，我知道这样走是合理的。直接用几条线段连接这个点，这部分曲线的长度是。

第一条道路的长度为4124.2

(c)、桥梁和居住区之间的道路优化

这一段是从地点起点到住宅终点，通过考虑起点高程和终点高程，高程很高，不能直接走，需要从高度比较近的路线绕过住宅用地。我们认为首先要找到点(3200，1600，700)和点(3200，2000，1100)之间高程在870左右的点，然后将此点作为点(3200，1770，870)、点(3200，2000，1100)通过考虑高度和更改周围点的坐标，这些点之间可以通过折线连接，此道路的长度计算如下：=1180.97。

(d)、隧道选择和住宅区到隧道的分段优化

整条道路的终点远高于住宅区以前道路的高程，因此从居民开始，隧道及出口隧道后的路段呈缓慢上升的趋势。考虑到山峰两侧的高程，我们决定建造的隧道的高程必须在950到1200之间，考虑到隧道坡度和一般线段的坡度，首先以点(4400.2800，1500)为顶点，从一个山峰开始建立高程为1100左右的隧道。

随着居民点向隧道的这一缓慢上升，即如果高程允许，则缓慢增加。居住地点的海拔为950，我们通过计算分别找出这些点(4012，2400，1002)，(4047.06，2800，1050)，由于这些山峰类似于以下内容，因此隧道入口点的坐标为(4400，2927)

得到出口点坐标(4400.3446.1100)，隧道长度为519.1米，整个隧道坡度在0.02允许范围内，因此可以在这里建造隧道。因此，这个方案是可行的，这个方案下区间的长度米。

(e)、隧道出口后回采巷道优化

离开隧道后，到矿山为止，这一段的高程也逐渐增加，从隧道出口高程1100开始，高程逐渐增加，最终到达矿区是我们的考虑。为此，选择了隧道出口和矿区之间的这些点作为高速公路的必要场所。(4000，3491，1159)，(3600，3600，1200)，(3200，3685，1246)。根据隧道出口点和这三点，我们拟合了一条近似曲线的道路，如下所示：

通过计算从点(3200，3685，1246)到光球(2000，4000，1320)的长度可以近似直线，此部分的方程式如下：线的长度为1240.86米。

隧道到矿山的路段长度为2644.24米。

(六)、旅行总额和所需资金计算

整个段中一般段的长度

大米。

桥长82米。

隧道的长度为519.1米。

因此，最终所需资金如下：

7950.65 * 300 82 * 2000[300 * 1500(519.1-300)* 3000]=410.13(万韩元)

四、模型分析

由于某些函数的不确定性，线性近似被直线取代，某些高程通过线性差分法计算，宏观上可以这样近似。

使用Matlab拟合函数计算点的位置，并确定桥梁维修隧道的位置，以使数据更准确。

五、参考文献

刘来福曾文艺编辑《数学模型与数学建模》北京师范大学出版社。

谭海强经营《C程序设计》高等教育出版社。

张晶等《精通matlab 6.5版》北京航空航天大学出版社

六、附件

使用MATLAB管接头函数的某些图形和算法如下：

1.第一段，高度为800-780的线性拟合：

使用二次多项式曲线首先拟合：

H1=[800，850 870 850]；

x1=[1200 1600 2000 2400]；

Plot(x1，h1，o)

霍尔德温；

P2=polyfit(x1，h1，2)；

Xx=linspace(1200，2400)；

Plot(xx，polyval(p2，xx)，g)

图：二次多项式曲线弯管头参照

再猜三次：

Figure(2)

Plot(x1，h1，o)

霍尔德温；

P3=polyfit(x1，h1，3)；

Plot(xx，polyval(p3，xx)，g)

图：3次多项式曲线弯管头参照

比较第二管接头更近，曲线还没有通过2点，第三管接头已经通过所有给定点，非常接近。

因此，使用三次配合。

刚算过，是

P3=[-2.0642 e-8 3.125 e-5 0.19167570.0000]

也就是说：

When x is in [1200，2400]h=-2.0642 e-8 * x 3.125 e-5 * x 2 0.19167 * x 570

2.计算高程在1010到880之间，纵坐标在4000到4400之间，高程约为1000的点的横坐标。线性拟合计算

为了提高精度，拟合范围包括高程1380 ~ 1050和相应的横坐标

类似：

Figure(3)

H2=[1380 1010 880 1050]；

x2=[3600 4000 4400 4800]；

Plot(x2，h2，o)

霍尔德温

Q3=polyfit(x2，h2，3)；

Xx=linspace(3600，4800)；

Plot(xx，polyval(q3，xx)，r)

图：查找海拔1000米的管接头图

管接头情况很好，MATLAB计算Q3=[1.5625 e-007-0.00125 0.85 5610]

已知高程为横坐标，变为逆参数，因此我们从图表中采取近似的方法来获取数据

栅格线

网格显示后，导入数据x=4012，h=1002

图参考：查找1002的横坐标的图表

3.

(1)定位横向4000高约1150的点

拟合y的高度h曲线，X=4000，y=2800到4000

Figure(4)

H3=[1070 1550 980 780]；

y1=[2800 3200 3600 4000]；

Plot(y1，h3，o)

霍尔德温

F3=polyfit(y1，h3，3)；

Yy=linspace(2800，4000)；

Plot(yy，polyval(f3，yy)，r)

栅格线

Xlabel(y)

Ylabel(h)

萃取点，点y=3491，h=1159

(2)使用相同的方法拟合x=3200、h=1600到950之间y的高度h曲线

Figure(5)

H4=[1600 1300 1080 950]；

y2=[3200 3600 4000 4400]；

Plot(y2，h4，o)

霍尔德温

F3=polyfit(y2，h4，3)；

Yy=linspace(3200，4400)；

Plot(yy，polyval(f3，yy)，r)

栅格线

Xlabel(y)

Ylabel(h)

评分y=3685，h=1246

图参考：寻找高程约为1250的点的图表

(3)根据刚刚发现的情况，计算隧道出口到矿区的道路拟合路线及其大致长度。(

首先，将曲线投影到XOY平面上以计算投影段的长度

点(3200，3686)、(3600，3600)、(4000，3491)、(4400，3225)(显示：此3225是安静计算的)

合成XOY平面上的曲线，查找长度，并使用空间关系查找道路的近似长度

x3=[3200 3600 4000 4400]；

y3=[3686 3600 3491 3225]；

Plot(x3，y3，o)

霍尔德温

R3=polyfit(x3，y3，3)；

Xx=linspace(3200，4400)；

Plot(xx，polyval(r3，xx)，r)

见图：隧道入口到3200，高度为1250左右的那一点的配合图如下

R3=[-3.4896 e-0070.003669-13.238 19626]

是的

y=-3.4896 e-007 * x 3 0.003669 * x 2-13.238 * x 19626

A (2400，400，850) b (2800，800，830) c (3036，1836，855)的配合

将AB，BC分别拟合为二次曲线，使其在XOY中的投影成为直线

要执行此操作，请将变量设定为t=(x 2 y 2) 0.5。

计算方法如下：

AB:

考虑：[(2800-2400)2(800-400)2]0.5=565.7

Figure

t1=[0 565.7]；

hh1=[850 830]；

Plot(t1，hh1，o)

霍尔德温

Tt=linspace(0，565.7)；

G1=polyfit(t1，hh1，2)；

Plot(tt，polyval(g1，tt)，g)

图参考：更多配合

计算：g1=[-6.2497e-005 0 850]

Hh1=-6.2497 e-005 * x 2 850

BC:

考虑：[(3036-2800) 2 (1836-800) 2] 0.5

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