【学习笔记】SAM的结构和应用

S A M SAM SAM学的太烂了，滚粗了。

让我们从头说起。字符串 s s s的 S A M SAM SAM是一个接受 s s s的所有后缀的最小 D F A DFA DFA。既然是 D F A DFA DFA那么就存在一个或多个终止状态，如果我们从初始状态 t 0 t_0 t0出发，最终转移到了一个终止状态，则路径上的所有转移连接起来一定是字符串 s s s的一个后缀。反过来， s s s的每个后缀均可用一条从 t 0 t_0 t0到某个终止状态的路径构成。

S A M SAM SAM包含关于字符串 s s s的所有子串信息。任意从初始状态 t 0 t_0 t0开始的路径，如果我们将转移路径上的标号写下来，都会形成 s s s的一个子串。反之每个 s s s的子串对应从 t 0 t_0 t0开始的某条路径。唯一需要注意的是若干个子串可能对应同一条路径，因为是去重过后的。

考虑字符串 s s s的任意非空子串 t t t，记 endpos(t) \text{endpos(t)} endpos(t)为在字符串 s s s中 t t t的所有结束位置。这样所有字符串 s s s的非空子串都可以根据它们的 endpos \text{endpos} endpos集合被分为若干个 等价类 。

引理1：字符串 s s s的两个非空子串 u u u和 w w w（假设 ∣ u ∣ ≤ ∣ w ∣ |u|\le |w| ∣u∣≤∣w∣）的 endpos \text{endpos} endpos相同，当且今当字符串 u u u在 s s s中的每次出现，都是以 w w w的后缀形式存在的。

引理2：考虑两个非空子串 u u u和 w w w（假设 ∣ u ∣ ≤ ∣ w ∣ |u|\le |w| ∣u∣≤∣w∣），那么如果 u u u是 w w w的一个后缀，则 endpos ( w ) ⊆ endpos ( u ) \text{endpos}(w)\subseteq \text{endpos}(u) endpos(w)⊆endpos(u)；否则 endpos ( w ) ∩ endpos ( u ) = ∅ \text{endpos}(w)\cap \text{endpos}(u)=\empty endpos(w)∩endpos(u)=∅。

引理3：考虑一个 endpos \text{endpos} endpos等价类，将类中的所有子串按长度非递增的顺序排序。那么对于同一等价类的任意两子串，较短者为较长者的后缀，且该等价类中的子串长度 恰好覆盖整个区间 [ x , y ] [x,y] [x,y]。

这些东西就不用证了吧。。。

考虑 S A M SAM SAM中某个不是 t 0 t_0 t0的状态 v v v。我们已经知道，状态 v v v对应具有相同 endpos \text{endpos} endpos的等价类。我们如果定义 w w w为这些字符串中最长的一个，则所有其他的字符串都是 w w w的后缀。定义一个后缀连接 link(v) \text{link(v)} link(v)连接道对应于 w w w的最长后缀的另一个 endpos \text{endpos} endpos的等价类状态。

为了方便，规定 endpos ( t 0 ) = { − 1 , 0 , . . , ∣ S ∣ − 1 } \text{endpos}(t_0)=\{-1,0,..,|S|-1\} endpos(t0)={−1,0,..,∣S∣−1}。

引理4：所有后缀链接构成一颗根节点为 t 0 t_0 t0的树。唯一需要注意的是这颗树上的节点也对应这个 D A G DAG DAG上的点。证明也非常简单，考虑每次会连接到长度更短的后缀，最后总能到达空串对应的初始状态 t 0 t_0 t0。

引理5：通过 endpos \text{endpos} endpos集合构造的树（每个子结点的 s u b s e t subset subset都包含在父节点的 s u b s e t subset subset中）与通过后缀连接 link \text{link} link构造的树相同。换句话说，后缀连接构成的树本质上是 endpos \text{endpos} endpos集合构成的一棵树。事实上仔细观察一下还会发现一个节点的 endpos \text{endpos} endpos就是所有子结点的 endpos \text{endpos} endpos集合的并。关于任意节点的 endpos \text{endpos} endpos集合怎么求我们后面会提到。

然后介绍一下 S A M SAM SAM的构造过程。这比较繁琐，但也是必须的。

考虑给当前字符串添加一个字符 c c c的过程。

令 l a s t last last为添加字符 c c c之前，整个字符串对应的状态。
创建一个新的状态 c u r cur cur，并将 len ( c u r ) \text{len}(cur) len(cur)赋值为 len ( l a s t ) + 1 \text{len}(last)+1 len(last)+1，此时 link ( c u r ) \text{link}(cur) link(cur)还未知。
从状态 l a s t last last开始，如果还没有到字符 c c c的转移，那么就添加一个道状态 c u r cur cur的转移，遍历后缀链接。如果在某个点已经存在到字符 c c c的转移，我们就停下来，并将这个状态标记为 p p p。
如果没有找到这样的状态 p p p，我们就到达了虚拟状态 − 1 -1 −1，将 link ( c u r ) \text{link}(cur) link(cur)赋值为 0 0 0并退出。
假设现在我们找到了一个状态 p p p，其可以通过字符 c c c转移。将转移到的状态标记为 q q q。事实上此时我们已经知道 c u r cur cur的后缀链接的长度应该为 len ( p ) + 1 \text{len}(p)+1 len(p)+1了。所以我们只需要进行一些修正即可。
如果 len ( p ) + 1 = len ( q ) \text{len}(p)+1=\text{len}(q) len(p)+1=len(q)，那么只要将 link ( c u r ) \text{link}(cur) link(cur)赋值为 q q q并退出。
否则创建一个新的状态 c l o n e clone clone，复制 q q q的除 l e n len len外的所有信息（后缀链接和转移）。将 len ( c l o n e ) \text{len}(clone) len(clone)赋值为 len ( p ) + 1 \text{len}(p)+1 len(p)+1。注意这个时候应该是 c l o n e clone clone为 q q q和 c u r cur cur的后缀，所以将后缀链接从 c u r cur cur指向 c l o n e clone clone，也从 q q q指向 c l o n e clone clone。最后还要完成一个重定向的过程。使用后缀链接从状态 p p p往回走，只要存在一条通过 p p p到达 q q q的转移，就将该转移重定向到状态 c l o n e clone clone。这也很好理解，因为 c l o n e clone clone和 q q q的区别就在于 c l o n e clone clone的 endpos \text{endpos} endpos集合里面多了一个位置，因为是从 p p p往回走所以转移到的状态长度肯定不会超过 c l o n e clone clone，所以应该和 c l o n e clone clone放在同一个等价类当中。
最后将 l a s t last last的值更新为状态 c u r cur cur。

有一点复杂，但是如果多画图还是可以理解的。

事实上 S A M SAM SAM的节点个数不超过 2 n − 1 2n-1 2n−1，转移数不超过 3 n − 4 3n-4 3n−4。有构造能卡到上界，这里就不赘述了。我更喜欢将转移数看 D A G DAG DAG中的边数，这似乎在提示我们可以直接在 D A G DAG DAG上做文章。

简单讲几个比较基础的应用吧。

检查字符串是否出现：直接根据模式串 P P P的字符进行转移即可。但是我要提的是，这个算法还可以找到 P P P在文本串中出现的最大前缀长度。

不同子串个数：转化成不同路径条数，直接在 D A G DAG DAG上统计即可。当然直接对每个节点对应的子串数目求和也是可以的。

字典序第 K K K大串：利用路径和子串的对应关系不难贪心求出答案。但是我要提的是，如果相同的子串算出现多次，那么我们可以通过递推求出每个节点对应的 endpos \text{endpos} endpos集合的大小，相当于给每个子串赋了一个权值，可以类似计算。

最小循环移位：发现 S + S S+S S+S包含字符串 S S S的所有循环移位作为子串，那么问题等价于找一条长度为 n n n的字典序最小的路径，这显然可以贪心解决。

所有出现位置：说白了就是要找到所有节点对应的 endpos \text{endpos} endpos。可以这样来想，如果一个子串的 endpos \text{endpos} endpos集合中包含 i i i，那么说明这个子串是以 i i i结尾的前缀的后缀，换句话说在后缀树上是 i i i对应的终止节点的祖先，那么就在 i i i对应的终止节点上插入 i i i，然后线段树合并即可。显然这里也可以用上可持久化数据结构做到在线。

最短的没有出现的字符串：这个可以通过 D P DP DP解决。就不再赘述了。

两个子串的最长公共前缀：这个也非常简单。将 S S S反转一下，问题变成了求公共后缀，而根据分析我们知道这个长度就是后缀树上 L C A LCA LCA对应的 len \text{len} len。

不得不感叹， S A M SAM SAM真是字符串工具的集大成者。之前没认真学真是太可惜了。

让我们尝试用 S A M SAM SAM来解决两道题目吧，不然就全变成抄OI-wiki了。

例题后面会更。

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