阶乘计算之大数阶乘与快速取模阶乘计算

大数阶乘的常规运算

即数学的模拟运算。一位一位的乘，有进位就进位。

#include <bits/stdc++.h>
#define _xx ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
using namespace std;
typedef long long LL;
//1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800,
int a[40000];
int main()
{int n;while(cin>>n){memset(a,0,sizeof(a));a[1]=1;int i,j,len=1,rest;for(i=2;i<=n;i++){rest=0;for(j=1;j<=len;j++){a[j]=a[j]*i+rest;rest=a[j]/10;a[j]=a[j]%10;}while(rest){a[j++]=rest%10;rest/=10;}len=j-1;}for(i=len;i>=1;i--) cout<<a[i];cout<<endl;}
}

引例之速求阶乘末尾0的个数

我们知道末尾0至于阶乘中的因子2*5有关，并且阶乘n中5的数量比2的数量少很多。
如果我们要考虑阶乘尾数0的个数，就只要知道有多少个2*5即可，只要知道5的个数即可。
所以我们只要算出N！中5的个数。
而N！中5的个数公式=n/5+n/25+n/125…n/(5^m)
举个例子。n=1000。
1-1000中5有a1=200。
1-1000有25有a2=40。
1-1000有125有a3=8。
1-1000有625有a4=1。
所以5的个数有5+25+125+625。为什么直接加？因为如1-1000中的数75，它有2个5。他在a1中算过一次，在a2中也算过一次。
so。实现代码如下。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//n![1~10]：1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800,
int main()
{int n;cin>>n;int ans=0;while(n){ans+=n/5;n/=5;}cout<<ans<<endl;return 0;
}

大数阶乘要取模，快速取模

试用情况：当数很大，普通的阶乘取模很慢，需要用快速阶乘取模的算法。
具体算法是这样。
由10！
=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10
=1*2*3*(2*2)5(2*3)7(2*2*2)(3*3)(2*5)
=1*(2^8)(3^4)(5^2)*7
我们可以想到，如果把每个数的质因数都分解出来，并且统计每种质因子有多少个，我们就可以多次使用二分求幂，再把它们的结果乘起来。注意这里并不是真的要老老实实地去分解每个数的质因子。对于每个质数x，我们可以很快算出前n个正整数一共包含有多少个质因子x（参考求n!末尾有多少个0么）。

#include <bits/stdc++.h>
#define _xx ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
using namespace std;
typedef long long LL;
//n![1~10]：1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800,
const int mod=1000000007;
int prime[2000];
bool vis[10005];
int cnt=0;
void init()
{int m=sqrt(10005);for(int i=2;i<=m;i++){if(!vis[i]){for(int j=i*2;j<=10005;j+=i){vis[j]=true;}}}for(int i=2;i<=10000;i++) if(!vis[i])prime[cnt++]=i;
}
LL poww(LL a,LL b,LL m)
{LL ans=1;while(b){if(b&1) ans=ans*a%m;a=a*a%m;b>>=1;}return ans;
}
int main()
{_xx;init();int n;while(cin>>n){LL ans=1;for(int i=0;i<cnt && prime[i]<=n;i++){int k=0;int t=n;while(t){k+=t/prime[i];t/=prime[i];}ans=ans*poww(prime[i],k,mod)%mod;}cout<<ans<<endl;}
}