蓝桥杯试题算法训练礼物 C++ 详解

题目：

JiaoShou在爱琳大陆的旅行完毕，即将回家，为了纪念这次旅行，他决定带回一些礼物给好朋友。
　　在走出了怪物森林以后，JiaoShou看到了排成一排的N个石子。
　　这些石子很漂亮，JiaoShou决定以此为礼物。
　　但是这N个石子被施加了一种特殊的魔法。
　　如果要取走石子，必须按照以下的规则去取。
　　每次必须取连续的2*K个石子，并且满足前K个石子的重量和小于等于S，后K个石子的重量和小于等于S。
　　由于时间紧迫，Jiaoshou只能取一次。
　　现在JiaoShou找到了聪明的你，问他最多可以带走多少个石子。

输入格式

　　第一行两个整数N、S。
　　第二行N个整数，用空格隔开，表示每个石子的重量。

输出格式

　　第一行输出一个数表示JiaoShou最多能取走多少个石子。

样列输入

　　8 3
　　1 1 1 1 1 1 1 1

样列输出

　　6

数据规模和约定

　　对于20%的数据：N<=1000
　　对于70%的数据：N<=100,000
　　对于100%的数据：N<=1000,000，S<=10^12，每个石子的重量小于等于10^9，且非负

前言：

还是一样，网上的方法(二分查找)，又是不怎么解释过程。但是数据量太大，没空去慢慢测试数据，干脆自己想一个方法，也方便详细讲解解题过程。

开始：(已明确题意)

(也不知道是积累的做题经验，还是灵光一现，我想到：)

既然是要满足：前 K 个 <= S , 后 K 个也 <= S . 那不就类似分区嘛。按照S进行分区，找出两个相邻(或者部分重叠)的两个区间，其长度之和即为最多可拿的石子数量(其实这句话不太对，后面会慢慢改进的)。

还是我最喜欢的举例(例子)：7 4 1 0 8 5 2 9 6 3，那么显然对它分区的结果为：(图解)

分区方式：7 对应 1 代表若从 7 开始选，至多选 1 个(满足 <= S) 7 <= 10

4 对应 3 代表若从 4 开始选，至多选 3 个(满足 <= S) 4 + 1 + 0 <= 10

以此类推……

【分区数组所存放的是：对应原始数组(相同下标)，从当前位置往后选，不超过 S 的情况下，最多可以选多少个石子】

得到所有的分区情况，那就开始遍历，找最长相邻区间即可。

1.1 先挑最简单的情况：从0开始选，分区结果为2，意味着前S能选2个、选0之后，"去0到的后2位"，到5，分区结果为2，意味着(后S)能选2个。综合得：从0开始选，前K后K不超过S情况下，可以最多选 2 + 2 = 4个。(满足：前K后K不超过S，前K == 后K)

【看到这里，停下来，理解上面的操作：(关键)"去0到的后2位"，之后再往下看，这只是第一步】

然后遍历过程不断更新最大值(当然奇数的话，要-1为偶数)……

咔咔一顿敲，提交上去：正确率10%，用时1.0XXs(超时)。

超时的原因，时间复杂度：输入O(N)，分区O(N^2)，遍历O(N)。综合：O(N^2)这在蓝桥杯这样的比赛显然是无法忍受的，效率太低了，于是我又优化了一下，可以参考代码对比一下：

 //输入操作 + 优化前的分区操作for (int i = 1; i <= N; i++) cin >> ii[i];for (int i = 1; i <= N; i++){int sum = 1; int j = i + 1; long long add = ii[i];while (add + ii[j] <= S && j <= N){add += ii[j]; sum++; j++;}jj[i] = sum;}//输入操作 + 优化后的分区操作int left = 1;long long add = 0;for (int i = 1; i <= N; i++){cin >> aa[i]; add += aa[i];while (add > S){bb[left] = i - left; add -= aa[left++];}}while (left <= N){bb[left] = N - left + 1; left++;}

这下把分区优化到O(N)的时间复杂度。

时间缩短了，但正确率还是10%，看来还是逻辑有疏漏。

1.2 接下来看其他情况：

从7开始，分区为1，前S选1个、选7之后，"去7到的后1位"，到4，分区为3，(后S)能选3个。综合得：从7开始选，前K后K不超过S情况下，可以最多选 1 + 3 = 4个。(满足：前K后K不超过S，但是不满足：前K == 后K)

这时候就要改进了。如果选7，为了满足前K不超过S，那么只能选1个，为了前K == 后K，后面也只能选1个，总共2个。那如果不选7，哪怕只在(4 1 0)中选，也最多能选2个。(看着我个人都觉得好绕，但其实并不复杂，应该是我个人表述能力不行……）

所以，当前S的K小于后S的K，比较(前S的K * 2)和(后S的K)哪个更大，大的即为结果。

同理，当前S的K大于后S的K，比较(前S的K)和(后S的K * 2)哪个更大，大的即为结果。

接下来，还是举几个例子吧。

(石子数量)N = 7，(限制重量)S = 10，(石子重量)2 2 2 2 2 5 5，分区为：5 4 3 3 2 2 1

(在纸上推导正确)结果为：4，改进前：(5 + 2 = 7, 7 - 1 = )6，改进后：(5 > 2 * 2, 5 - 1 = )4

(石子数量)N = 7，(限制重量)S = 10，(石子重量)5 5 2 2 2 2 2，分区为：2 3 5 4 3 2 1

(在纸上推导正确)结果为：4，改进前：(2 + 5 = 7, 7 - 1 = )6，改进后：(2 * 2 < 5, 5 - 1 = )4

N = 10，S = 12，2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 ，分区为：6 5 5 5 4 4 4 3 2 1

(在纸上推导正确)结果为：8，改进前：(6 + 4 = )10，改进后：(6 < 2 * 4, 2 * 4 = )8

……

好了，完善到这里，已经有90%的正确率了。

还剩最后10%，请看这个案例：N = 11 , S = 8 , 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 , (分区)8 7 7 6 5 5 4 3 3 2 1

(在纸上推导正确)结果为：10，改进后：(8 > 2 * 3)8，错误。在纸上推导的我们很容易得出，答案10是由第二个(分区中的)5得出的。因为它前5位是8，意味着它前面第五个数，如果选了，则可以选8个，自然囊括了它在内。而选了它，分区为5，最多可选5个。所以它本身5个，加上前面8内的5个，加起来10个也就是最优解。(说起来挺复杂的，但其实动手在纸上写一写，其实很容易理解)

所以，综合得：(伪代码?)

1、定义数组 aa[1000001], 数组 bb[1000001]；2、输入数据(到 aa)，同时进行分区(到 bb)；3、遍历( bb)，从 bb[i], bb[i + bb[i]], bb[i - bb[i]] 中找出最大的……

【遍历到数组的某个元素，看三个：元素本身，该元素前"元素值"个，该元素后"元素值"个。当中最大的为结果】

还有分区，优化后的分区(自行理解)还是比较有趣的，差不多，就这样吧。

附上代码：

#include<iostream>
using namespace std;//温馨提示：过大的数据要放在函数体外
int aa[1000001] = { 0 };
int bb[1000001] = { 0 };//取最大
int Max(int a, int b, int c = -1)
{int max = (a > b) ? a : b;return (max > c) ? max : c;
}//取最小
int Min(int a, int b)
{return (a < b) ? a : b;
}int main()
{int N; cin >> N;long long S; cin >> S;int left = 1;long long add = 0;for (int i = 1; i <= N; i++){cin >> aa[i];add += aa[i];//while循环就是执行"分区"的操作了。while (add > S){bb[left] = i - left;add -= aa[left++];}}//也是"分区"的操作(收尾)while (left <= N){bb[left] = N - left + 1;left++;}//测试：检查分区情况//for (int i = 1; i <= N; i++)//{//    cout << bb[i] << " ";//}//cout << endl;/*注意：下面这段for循环内的注释，写得不好，尽量自行理解，不要被我的注释限制思路*/int MaxSum = 0;for (int i = 1; i <= N; i++){//当前遍历到的长度int Len01 = bb[i];//选了Len01之后，进到下一S分区的长度int Len02 = 0;if (i + bb[i] <= N) Len02 = bb[i + bb[i]];//以Len01长度分区的上一段int Len03 = 0;if (i - bb[i] >= 0 && bb[i] <= bb[i - bb[i]]) Len03 = bb[i] * 2;int MaxLen = Max(Len01, Len02, Len03);int MinLen = Min(Len01, Len02);MaxLen = Max(MaxLen, MinLen * 2);//更新最优解MaxSum = Max(MaxSum, MaxLen);}//奇数则化为偶数，位运算妙用cout << (((MaxSum & 1) == 1) ? MaxSum - 1 : MaxSum);return 0;
}

结束：

并不是很复杂，多在纸上推导几遍即可。感觉表述得不好，希望理解吧。

(文章写得很急，哪里不懂的，私信或者评论问我，有空都会回复)

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