前言

最近的研究项目需要用到马尔可夫链蒙特卡洛算法（Markov Chain Monte Carlo： MCMC），但之前一直不是很明白蒙特卡洛算法的具体原理（很多概率模型直接有调用MCMC的包，所以之前一直不是深入了解过）。前些日子重新认真的学习了一下蒙特卡洛算法，在此配上几个实例讲解一下。

什么是蒙特卡洛？

蒙特卡洛这个名字来源于摩纳哥赌城“蒙特卡洛”（统计学大师Nicholas Metropolis在1947年命名“Monte Carlo method”）。蒙特卡洛是一种统计模拟方法，具体方法是依赖随机样本来对目标做近似（refers to algorithms that rely on repeated random sampling to obtain numerical results）。相比其他统计学算法，蒙特卡洛的强大在于它的简单灵活已经容易实现（虽然不能得到真实值，但在样本基础足够大的时候可以无限逼近于真实值）。

简单的说，蒙特卡洛是尝试使用一些

例1: 通过均匀抽样计算π\piπ值

蒙德卡洛是一种可以估算π\piπ值的算法。这个例子就是假设我们有随机数生成器，那么我们能不能通过随机样本来估算π\piπ呢？

假设我们在一个xxx ~ Uniform(−1,1)Uniform(-1,1)Uniform(−1,1), yyy ~ Uniform(−1,1)Uniform(-1,1)Uniform(−1,1) 的平面内进行随机采样，那么这些点落在如上图中绿色圆内的概率是多大呢？我们可以计算出:
P（随机采样点落在圆内）P（随机采样点落在圆内）P（随机采样点落在圆内）= 圆的面积正方形的面积\frac{圆的面积}{正方形的面积}正方形的面积圆的面积 = π×r2(2r)2\frac{\pi\times r^{2}}{{(2r)}^{2}}(2r)2π×r2 = π4\frac{\pi}{4}4π ， (r=1r = 1r=1)
假设我们随机取样nnn个点，每次落在圆内的概率为PPP，那么落圆内点数量的期望就是
E（随机采样点落在圆内）=P∗n=π×n4E（随机采样点落在圆内）= P*n = \frac{\pi\times n}{4}E（随机采样点落在圆内）=P∗n=4π×n
注意这里是期望，并不是实际落在圆内的点的个数，当取样数越多事，真实值落在圆内的点将无限接近于π×n4\frac{\pi\times n}{4}4π×n
我们如何判断我们随机取样的(x,y)(x, y)(x,y)是否落在圆内呢？可以通过很简单的圆方程计算，如果(x,y)(x, y)(x,y)满足x2+y2<1x^2 + y^2 < 1x2+y2<1，那么该采样点落在圆内。
假设我们发现mmm个点落在圆内，在nnn足够大的前提下，我们就能近似的得到m≈π×n4m \approx \frac{\pi\times n}{4}m≈4π×n，经过简单变化，我们就能够估算π≈4×mn\pi \approx\frac{4\times m}{n}π≈n4×m。

后续案例之后补。。。

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