向量

行向量

import numpy as np
a = np.array([1,2,3,4])
print(type(a))
print(a)

<class 'numpy.ndarray'>
[1 2 3 4]

列向量

列向量相当于一个 n×1n\times1n×1 的矩阵

import numpy as np
a = np.array([[1,2,3,4]])
print(type(a))
print(a)
print(a.shape)
print(type(a.T))
print(a.T)
print(a.T.shape)

<class 'numpy.ndarray'>
[[1 2 3 4]]
(1, 4)
<class 'numpy.ndarray'>
[[1][2][3][4]]
(4, 1)

向量的加法

[123]+[567]=[6810]\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 8 \\ 10 \end{bmatrix} ⎣⎡123⎦⎤+⎣⎡567⎦⎤=⎣⎡6810⎦⎤

import numpy as np
u = np.array([[1,2,3]]).T
v = np.array([[5,6,7]]).T
print(u+v)

[[ 6][ 8][10]]

向量的数量乘法

3×[123]=[369]3 \times \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{bmatrix} 3×⎣⎡123⎦⎤=⎣⎡369⎦⎤

import numpy as np
u = np.array([[1,2,3]]).T
print(3*u)

[[3][6][9]]

向量间的乘法

向量的内积(点乘) `np.dot()`

参与内积运算的两个向量必须维数相等
运算规则：先将对应位置上的元素相乘，然后合并相加
向量内积的最终运算结果是一个标量

(352)⋅(147)=3×1+5×4+2×7=37\begin{pmatrix} 3 & 5 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \end{pmatrix} = 3\times1 + 5\times4 + 2\times7 = 37 (352)⋅(147)=3×1+5×4+2×7=37

import numpy as np
u = np.array([3,5,2])
v = np.array([1,4,7])
print(np.dot(u,v))

向量的外积(叉乘) `np.cross()`

二维向量的外积

表示两个向量张成的平行四边形的"面积",如果两个向量的夹角大于 180∘180^\circ180∘, 则向量外积的运算结果为负

(35)×(14)=7\begin{pmatrix} 3 & 5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 4 \end{pmatrix} = 7 (35)×(14)=7

import numpy as np
u = np.array([3,5])
v = np.array([1,4])
print(np.cross(u,v))
print(type(np.cross(u,v)))
print(np.cross(u,v).shape)

7
<class 'numpy.ndarray'>
()

三维向量的外积

表示两个向量张成的平面的法向量，所得结果是向量

(339)×(1412)=(0−279)\begin{pmatrix} 3 & 3 & 9 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 4 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -27 & 9 \end{pmatrix} (339)×(1412)=(0−279)

import numpy as np
u = np.array([3,3,9])
v = np.array([1,4,12])
print(np.cross(u,v))
print(type(np.cross(u,v)))
print(np.cross(u,v).shape)

[  0 -27   9]
<class 'numpy.ndarray'>
(3,)

向量的线性组合：先数乘后叠加

3×[123]+4×[456]+5×[789]=[546678]3 \times \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} + 4\times \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} + 5\times \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 54 \\ 66 \\ 78 \end{bmatrix} 3×⎣⎡123⎦⎤+4×⎣⎡456⎦⎤+5×⎣⎡789⎦⎤=⎣⎡546678⎦⎤

import numpy as np
u = np.array([[1,2,3]]).T
v = np.array([[4,5,6]]).T
w = np.array([[7,8,9]]).T
print(3*u+4*v+5*w)

[[54][66][78]]

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