一、线性空间

要搞懂傅里叶变换到底从何而来，必须要从线性空间开始。

数学中一个非常重要的概念就是空间，所谓空间其实就是将遵循一定规则的元素放在一块所形成的集合，比如研究的对象是二维的向量即满足维度为二这个规则，那么所有的这些向量所构成的集合就是二维向量空间，再加上各种规则又能扩展出许多各异的空间。在“线性”代数中最基本的就是线性向量空间，线性向量空间就是研究的对象（集合中的元素）定义了加法和乘法，且加乘满足8条规则的集合，这8条规则是线性空间理论得以延伸到傅里叶变换的原因。这些规则高度抽象的描述了线性的结构，抽象思维是数学中最重要的思维，抽象带来的好处就是普适，使得针对这些规则所推导出来的结论得以扩展到满足这些规则的所有对象中去。可以类比软件工程中的抽象类（接口），抽象类抽出了一大堆具体类的共同点（成员变量及虚函数，对应于线性加乘的8条规则），如果基于抽象类的这些共同点实现一些功能，就好比基于这8条规则推导出来一些结论，只要所有具体类继承了抽象类，实现了抽象类所需要的所有内容，即重写了虚函数，那么无论不同的具体类在细节上有多少差别，替换具体类不会对基于抽象接口实现的功能造成影响，同理不论空间的各种其他属性多么不同，只要满足线性的8条规则，都会适用线性空间的结论。这8条规则是：

对于集合V和域P，α和β是集合V中的元素、k和l都是域P中的元素(域是实数域、复数域等，两个集合V中的元素相乘是非线性的，集合V中的元素与数相乘是线性的，对应齐次性)，有

① α+β=β+α，对任意α，β∈V

② α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V

③ 存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元

④ 对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α

⑤ 对P中单位元1，有 1α=α(α∈V)

⑥ 对任意k，l∈P，α∈V有 (kl)α=k(lα)

⑦ 对任意k，l∈P，α∈V有 (k+l)α=kα+lα

⑧ 对任意k∈P，α，β∈V有 k(α+β)=kα+kβ

性质⑧之所以称为线性，可能是因为二维坐标系上的一次函数满足该性质，如果想要“分析”某个东西只有线性当然是不够的，要把一个东西分解就必然要有基的概念，而作为基一定要有一个可以度量的长度 (实际上是测度) 的概念，这样其余的东西才能用这个基的倍数来表示。有长度的概念还不够，还要加上角度的概念，有了角度的概念空间才得以扩张，才能分解向量，两个向量必须要错开0度以上的角度才能张成二维空间，之所以能将一个二维空间中的向量分解为两个一维向量的矢量和，是因为对于一个三角形，只需要确定两条边和这两条边之间的夹角，就能唯一确定第三条边，并且即使这两条边只拥有一维的自由度，即只能改变长度，第三条边也可以拥有二维的自由度。而内积同时包含了角度和长度的概念，进一步定义了内积的线性空间就是欧几里得空间。

n维的欧几里得空间是以n维向量作为元素的，对于其中的两个向量 $\vec{x}=\left\{ x_{1} ,x_{2},...,x_{n}\right\}$ 和 $\vec{y}=\left\{ y_{1} ,y_{2},...,y_{n}\right\}$ 其内积定义为：

$\vec{x}\cdot\vec{y}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot y_{i}$

也可以写为：

$\vec{x}\cdot\vec{y}=\left| x \right|\left| y \right|cos\theta$

$\theta$ 为两个向量的夹角。一个向量与自身的内积再开方就是这个向量的长度。

有了内积的概念，坐标系就形成了，一组线性无关的向量，即相互之间夹角都不为零的向量就可以撑起一片空间，这些线性无关的向量就是这个空间的坐标系，也可以称为基。空间有多少维，基最多就有多少个，即n维空间的基可以由n个线性无关的向量表示，而向量可以表示为一个数组，这个数组其实是在一组长度为一个单位（乘法4条中的1元律的1）的正交基即标准正交基下表示的，n个数组写在一块就是一个矩阵，即n维空间的基可以用n×n阶的矩阵来描述。在这些基中比较特殊的就是正交基，正交基是基向量之间的内积互相为0的一组基，这样的基向量互相没有瓜葛，用正交基来表示向量就不会有冗余成分。要想获得一组正交基可以利用shimidt正交化，shimidt正交化通过不断减投影逐步消去线性无关向量组的冗余，得到正交基。除了内积，空间中还要有变换的概念，一个向量可以通过变换突变成空间中的另一个元素，类似原子能级从一个态到另一个态的跃迁，巧合的是原子的态可以表示成一组特定基底下的向量，而跃迁的确能够通过矩阵乘法实现。我们知道基可以写成矩阵，而向量与某一个基进行内积运算可以得到这个向量在这个基上的投影，也就是把向量变换成了在这个基上表示的形式。假设我们有一个列向量组 $\left ( x_{1}, x_{2},... , x_{n}\right )$ ，写成矩阵形式，则这个向量组可以看成是在之前提到过的标准正交基下表示的：

$E\cdot \left ( x_{1}, x_{2},... , x_{n}\right )$

$n$ 阶单位阵 $E$ 就是是标准正交基。怎么让 $\left ( x_{1}, x_{2},... , x_{n}\right )$ 变化呢？让向量在坐标 $E$ 下发生变化，可以通过为向量 $\left ( x_{1}, x_{2},... , x_{n}\right )$ 偷换一组基来实现，这个过程是这样的：将改变后的基在 $E$ 下表示出来，即用基 $E$ 下的向量表示出改变后的基，设这个基为 $E\cdot C$ ，则 $\left ( x_{1}, x_{2},... , x_{n}\right )$ 在新基下的坐标为 $E\cdot C\cdot \left ( x_{1}, x_{2},... , x_{n}\right )$ ， $E\cdot C$ 是一组基的矩阵表示， $E\cdot C$ 与 $E$ 是同一个线性空间的基，因此 $C\cdot \left ( x_{1}, x_{2},... , x_{n}\right )$ 与 $\left ( x_{1}, x_{2},... , x_{n}\right )$ 都是同一个线性空间中的元素，它们之间的映射自然满足线性性质，因而称为线性变换。线性变换的本质就是偷偷改变向量所在的基，在向量 $\left ( x_{1}, x_{2},... , x_{n}\right )$ 看来， $E\cdot C$ 就是它眼中的 $E$ ，它所描述的倍数关系和角度关系都是 $E\cdot C$ 为单位的，但是在原来的 $E$ 看来向量 $\left ( x_{1}, x_{2},... , x_{n}\right )$ 变成了 $C\cdot \left ( x_{1}, x_{2},... , x_{n}\right )$ ， $C\cdot \left ( x_{1}, x_{2},... , x_{n}\right )$ 就是变换后的向量组。向量的线性变换可以看作是基的改变也可以看作是向量自身的改变，变换是相对的。

什么是相似变换呢？相似变换就是在不同基下的同一个线性变换。可以这么理解,假设在 $E$ 下有一个列向量 $\vec{x}$ ,把它看作是另一组基向量的线性组合的系数，就是说 $\vec{x}$ 里的数字表示的是以另一个基 $C$ 中的基向量为单位的的倍数而不是以1为单位长度的正交基向量的倍数。如果有一个线性变换 $A$ ，它所表示的对基的拉伸比例与旋转角度是对 $E$ 而言的，那么如何对 $\vec{x}$ 做线性变换 $A$ 呢，直接左乘？如果直接左乘我们就是默认 $\vec{x}$ 是在 $E$ 下的向量，但实际上 $\vec{x}$ 是在 $C$ 下的向量。所以在左乘之前必须要揭开 $\vec{x}$ 的真面目，即找出 $\vec{x}$ 在 $E$ 下的真实坐标，做法很简单就是在 $E$ 下把 $C$ 表示出来，在 $\vec{x}$ 看来 $C$ 就是标准正交基，但是在我们看来 $C$ 只是 $E$ 下的一组线性无关的向量，则 $E\cdot C\cdot \vec{x}$ 就是 $\vec{x}$ 在 $E$ 下的真面目，现在，在同一个坐标系下就可以施加线性变换 $A$ 了，得到 $A\cdot E\cdot C\cdot \vec{x}$ ，变换后的结果回归以 $C$ 为标准正交基的状态就要再乘上 $C^{^{-1}}$ ，即 $C^{-1}\cdot A\cdot C\cdot \vec{x}$ ，因此 $C^{-1}\cdot A\cdot C$ 与 $A$ 是同一个线性变换，只不过是这个线性变换在另一个参照系即以 $C$ 为标准正交基时的形态。不难理解线性变换 $A$ 与向量 $\vec{x}$ 是绝对的、不随坐标改变的实体，所有矩阵数字的变化都只是因为基(参照系)在改变。矩阵的相似对角化就是在寻找线性变换在以不同基为标准正交基时能达到的最简形式，在这个基上这个线性变换只是简单的伸缩，广泛用于数据压缩降维的PCA算法和离散余弦变换DCT都是同样目的，即寻找一组基使数据的表示最简，在最简表示下的一些信息量小的空间维，可以选择舍弃而不影响其他维度，如PCA算法中奇异值小的项，DCT中的高频分量。当然不是所有的线性变换都有最简表示的，要能对角化，必须要有与空间维度数目相同的特征向量，对于某个线性变换，他的特征向量的独特之处在于，这个线性变换作用于其上只是简单的向量长度的缩放，特征值才是线性变换真正的“特征”，无论线性变换在各种基下如何千变万化，它是始终不变的，线性变换的DNA。特征向量的存在，是由基向量沿某个方向的分量相等造成的。这里举个二维空间的例子(三维不好画，四维没法画)来说明：

如图所示， $\begin{bmatrix} 2 &1 \\ 1&2 \end{bmatrix}$ 是在 $E$ 即 $\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$ 下表示的线性变换，实际上它就是两个线性无关的新基(绿色的向量)，如果对向量 $\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ 做线性变换，即 $\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ 从 $\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$ 的线性组合变成了 $\begin{bmatrix} 2 &1 \\ 1&2 \end{bmatrix}$ 的线性组合，则如果在 $\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$ 把线性变换后的 $\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ 表示出来，就是 $\begin{bmatrix} -3 \\ 0 \end{bmatrix}$ ，即 $\begin{bmatrix} -3 \\ 0 \end{bmatrix}$ 就是基 $\begin{bmatrix} 2 &1 \\ 1&2 \end{bmatrix}$ 下的 $\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，显然 $\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ 经过线性变换后发生了旋转，但是我们会发现新的基向量，和旧的基向量都关于两条直线对称，这两条直线就是 $k\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 和 $k\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ ，这两条直线之所以有这样的性质就是因为新基向量在与这两条直线垂直的方向上的分量长度，即图中的d是相等的，根据几何性质可以得出直线上存在一个方向，这个方向的向量在新基向量上的投影在与直线垂直方向上的分量互相抵消，这个方向就是特征向量的方向，更一般的，如果把基 $\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ 换成 $\begin{bmatrix} \frac{8}{3} \\ \frac{1}{3} \end{bmatrix}$ ,因为其在d的方向上的分量仍与基 $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ 相等，所以其必然在 $k\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ 方向上也存在一个特征向量，前面说到线性变换在不同基下是千变万化的，但是如果通过一组相似变换将这一线性变换，变换到在以其特征向量为基的形式下会发现其在特征向量上的分量即特征值是不变的，但是其特征向量是会改变的，如果某个线性变换 $A$ 在某个坐标下特征向量组为矩阵 $P$ ，则其在特征向量下表示为对角阵 $\Sigma$ ， $\Sigma =PAP^{-1}$ ,如果对原线性变换 $A$ 做一个相似变换 $Q$ 变到另一个坐标系下的形式 $B$ ， $B=Q^{-1}AQ$ ,那么 $\Sigma =(QP)A(PQ)^{-1}$ ，所以特征值是不变的，特征向量是会改变的，因此相似变换的“相似”是针对其对特征向量的作用而言的。从这个“特”例也可以直观的看出，实对称矩阵的特征向量为什么是正交的，因为实对称矩阵的基向量的长度也相等的。

二、 $L^{2}$ 空间的基

傅里叶变换实际上也是在寻找一组基来更简便的进行线性变换，但是目前所定义空间还不足以描述傅里叶变换。首先我们要将空间的维数扩展到无限维，即空间中的向量为 $\vec{x}=\left \{\cdots\left\ ,x_{-1} , x_{0},x_{1},\cdots \right \}$ ,完备的无穷维内积空间就叫做希尔伯特空间。无穷维仍然不够，现在的基仍然是用向量来表示的，需要再进一步扩展，即把向量替换成连续的函数，这样就扩展到了泛函分析的领域，泛函就是从函数到数域的映射，因为要满足内积空间的基本要求，所以首先要定义函数的内积。

我们可以从向量内积的形式导出连续函数的内积：假设函数 $f\left ( x \right )$ 和 $g\left ( x \right )$ 是我们所要定义的空间中的两个元素，先把它们离散化成向量形式，设它们的定义域为 $\left [ a,b \right ]$ , $N$ 是一个足够的整数，将区间 $\left [ a,b \right ]$ 分成 $N$ 段，每段长度为 $\frac{b-a}{N}$ ,因为 $N$ 足够大，所以 $\frac{b-a}{N}$ 足够小，令 $t_{j}=\frac{j(b-a)}{N}$ ,则每一个小区间内的值都可以用 $f\left ( t_{j} \right )$ 来近似，则函数 $f\left ( x \right )$ 可写为：

$\left (f\left ( t_{1}\right ), f\left ( t_{2}\right ),... , f\left ( t_{N}\right ) \right )$

这样就变成了一个N维的向量。对 $g\left ( x \right )$ 也做同样的处理，那么 $f\left ( x \right )$ 和 $g\left ( x \right )$ 的内积可以近似为：

$\left \langle f\left ( x \right ) \right,g\left ( x \right ) \rangle= \sum_{j=1}^{N}f\left ( t_{j} \right )g\left ( t_{j} \right )$

因为随着区间数 $N$ 的增大这个值会越来越大，这样的定义显然不合理。所以更好的办法是求所有区间的平均值，可以这么做的前提是内积只要满足三角和schwarz不等式即可，不等式两边同除一个正系数并不影响不等式的成立：

$\frac{b-a}{N}\sum_{j=1} \left \langle f(t_{j})\cdot g(t_{j})\right \rangle$

$\frac{b-a}{N}$ 在N趋于无穷的时候就可以看作是微元 $dt$ ，将求和化为积分，则连续函数的内积可以定义为：

$\left \langle f\left ( x \right ) \right,g\left ( x \right ) \rangle= \int_{a}^{b}f\left ( t \right )g\left ( t \right )dt$

还有一点要求，那就是两个函数在定义域内的内积不能为无穷大即要满足平方可积条件： $\int_{a}^{b}\left | f\left ( t \right ) \right |^{2}dt<\infty$ ;

以函数来取代向量的无穷维内积空间就叫做 $L^{2}$ 空间，这个空间为什么以 $L$ 命名呢？其原因是该空间是勒贝格(Lebesgue)可测集，所谓的勒贝格可测集指的是这个集合中所有的元素都具有勒贝格测度，测度在一维情况下就是长度，勒贝格测度定义了可数个子集的可加性，这是为处理可数个间断点所做的准备，拥有可数个间断点的函数只能进行勒贝格积分，而一般的黎曼积分只能处理有限个间断点(无穷包括可数无穷和不可数无穷)。需要注意一点，在严格意义上，平方可积条件中的积分指的是勒贝格积分，虽然前面的定义用的是黎曼积分的分割方式（参考http://www.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=362833）。如果被积函数满足狄利克莱条件，则勒贝格积分与黎曼积分等价，常见的空间中的元素都满足狄利克莱条件，因此教材一般不提勒贝格积分。若 $L^{2}$ 空间中的元素(函数)的定义域为 $\left [ a,b \right ]$ ，则这个空间就表示为 $L^{2}\left [ a,b \right ]$ ，可以证明，即使用函数取代了向量，这个空间仍然是线性空间，满足线性空间的性质。可以用集合的观点来看待从向量到函数的过程，向量 $\vec{x}=\left \{\cdots\left\ ,x_{-1} , x_{0},x_{1},\cdots \right \}$ 可以认为是对整数集(interger) $\left \{\cdots\left\ -3,-2,-1, 0,1,2,3,4\cdots \right \}$ 的映射，即将整数集中的整数 $i$ 映射成 $x_{i}$ ，而函数 $x(r)$ 可以认为是对实数集(real) $\left \{ r |r\in R \right \}$ 的映射，即将实数集中的元素 $r_{0}$ 映射成 $x(r_{0})$ ，二者之差别仅在所在数域的大小，即整数集是可数无穷集，而实数集是不可数无穷集，这个差别并不足以破坏线性性质，需要注意的一点是如果这个映射是单射，则 $x(r)$ 必须为不可数无穷集，如实数集或复数集，而 $x_{i}$ 可以为可数无穷集，从这点看来，研究可数无穷和不可数无穷哪个多还是有意义的（大概吧）。

前面提到过，线性变换就是基，现在就可以对傅里叶变换下定义了，傅里叶变换就是空间 $L^{2}\left [- \pi ,\pi \right ]$ 上的一个标准正交基。

这个基可以表示为：

$\left\{..., \frac{cos(2x)}{\sqrt{\pi}},\frac{cos(x)}{\sqrt{\pi}},\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{sin(x)}{\sqrt{\pi}},\frac{sin(2x)}{\sqrt{\pi}} ,...\right\}$

容易证明 $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}cos\left ( nx \right )cos(kx)dx$ 和 $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}sin\left ( nx \right )sin(kx)dx$ 在 $k!=n$ 时为零，且 $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}sin\left ( nx \right )cos(kx)dx$ 无论何时都为零。即基中所有的函数只有与自己的内积不为零。这个 $\sqrt{\pi}$ 只是为了让积分结果为1而引入的。还有还有一个问题，就是在有限维空间中的基中的线性无关向量的数量要等于空间的维数，但是 $L^{2}\left [- \pi ,\pi \right ]$ 是无限维的，函数系的数量也是无穷多的。不过可以通过zorn引理证明无穷维线性空间也必然存在极大线性无关集合，而通过shimidt正交化总可以获取一组正交基，并且只要某个正交系是希尔伯特空间的正交基，那么它就一定是完备的，这个完备指的是能够包含这组基的最小闭子空间是全空间（和线性无关向量的数量要等于空间的维数应该是一个意思），傅里叶基正是希尔伯特空间的完备正交基(完备性证明过于复杂)，希尔伯特空间具有完备性，这个完备性指的是其中的元素在某个度量(内积)下的柯西序列的极限仍然属于这个空间（说白了就是对极限运算封闭），比如收敛的实数序列的在欧几里得距离度量下（减某个数平方小于 $\varepsilon$ ）的极限必然是实数，因而一维欧几里得空间即数轴R是完备的，但是有理数集却不是完备的，因为有理数序列可能收敛于无理数。频谱密度是傅里叶基的连续极限形式，一旦涉及到连续，要追求严密性就必然涉及极限，因此 $L^{2}$ 空间的完备性对频谱密度的定义是必要的。 $L^{2}\left [- \pi ,\pi \right ]$ 空间的内积导出的范数为平方积分，一个函数的傅里叶级数依范数收敛于原函数，这点等同于线性代数中：同一个空间内在不同坐标系表示下的同一个向量，其长度（范数）不变，所以正交基的完备性等价于帕斯瓦尔能量方程的成立，也可以说帕斯瓦尔能量方程的成立证明了傅里叶基的完备性。

这样一来所有定义在 $L^{2}\left [- \pi ,\pi \right ]$ 空间中的函数即定义域为 $\left [- \pi ,\pi \right ]$ 的所有平方可积函数都可以用这个基来进行表示。这个表示就是傅里叶系数，结合前面的概念，傅里叶系数就是另一组基下的一个向量罢了。现在让基中的每个函数都以 $2\pi$ 为周期重复(之前只取一个周期)，则以它们为基的函数自然也以 $2\pi$ 为周期重复。周期一定要是 $2\pi$ 吗？ $2\pi$ 代表的是一个单位圆周，任何周而复始的事物都能抽象成这么一个周。但是不同的事情完成一个周的时间是有差别的，即周期 $T$ 是不同的，而信号一般都是随时间变化的，所以必须要引入角频率 $\omega$ 的概念来衡量完成一个周期的快慢，则有对应关系 $2\pi=\omega \cdot T$ 。之前的微元 $dx$ 是对弧度 $2\pi$ 的微分，而 $dt$ 是对周期 $T$ 的微分，如果以 $t$ 为变量的话，两个坐标存在一个缩放关系， $t$ 改变一个 $dt$ 的时候 $x$ 应该改变了一个 $wdt$ ，则以 $t$ 为变量的坐标下的 $\omega$ 就相当于以 $x$ 为变量的坐标下的基函数 $\frac{sin(1\times x)}{\sqrt{\pi}}$ 中的1，正因如此 $\omega$ 被称作为基频，这也是周期信号只有在基频和其谐波上存在频率分量的最根本原因了，假如其在谐波外的频率1.5倍基频上存在分量，则好比空间 $L^{2}\left [- \pi ,\pi \right ]$ 上的函数在函数 $\frac{sin(1.5\omega t)}{\sqrt{\pi}}\rightarrow \frac{sin(1.5x)}{\sqrt{\pi}}$ （随便写的）上有分量，如果我们承认 $\frac{sin(x)}{\sqrt{\pi}}$ 是以 $2\pi$ 为周期的函数，那么这个函数显然不能以 $2\pi$ 为周期，周期性的前提都不成立了，能以 $2\pi$ 为周期的只能是整数倍周期为 $2\pi$ 的函数。

用时间信号一个周期的积分来替换一个圆周的弧度积分，就可以写出时间信号的三角形式傅里叶展开式了：

$f(t)=a_{0}+\sum_{k=1}^{\infty }a_{k}cos(kw_{0}t)+b_{k}sin(kw_{0}t)$

$a_{0}$ 、 $a_{k}$ 和 $b_{k}$ 就是信号 $f(t)$ 在傅里叶变换下的坐标。具体坐标值就是函数在基上的投影，由内积就可求得，而连续函数的内积定义为积分形式，则坐标值为：

$a_{0}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt$

$a_{n}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)cos(nw_{0}t)dt$

$b_{n}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)sin(nw_{0}t)dt$

接下来给出复数形式的。不过在此之前需要弄明白复数与周期函数的渊源。

三、复数与傅里叶变换

对于一个运动方向不会改变的物体，可以容易的用一个数字（速率）确定其状态。但是对于运动方向会发生改变的物体，一维的数字显然不足以描述其状态，因为不仅需要表示大小，还必须表示方向。而在周期运动中速度的方向必然会发生改变，不然就回不到初始状态了。为了研究一维以上空间中的运动，我们将多个数字堆叠在一块，用以表示多维空间中的对象，多维的欧几里得空间中，一定存在正交基，在这个正交基下，各个维度的运动是独立的，因而我们可以通过叠加物体在不同维度的运动来描述高维空间中的运动。而函数则为我们提供了研究一维运动的方法，比如一个在一条线上振动的弹簧，它的运动完全可以用函数 $y=sin(t)$ 来描述，通过这个函数我们就能确定它任意时刻的状态。但是对于单一映射的函数而言也仅限于此，它无法描述一个沿单位圆不断匀速旋转的物体的运动，若要描述这个运动，我们需要两个函数，一个表示物体垂直方向的运动，一个表示物体水平方向的运动，则该物体的运动可以描述为 $y=sin(t)$ ， $x=cos(t)$ ，这就是向量与函数相结合的分析方式，通过这种方式我们可以对任意维度的运动进行描述（欧几里得空间中的运动）。但是这些函数所描述的是多维运动在一维数轴上的投影量，就好比我们看地上影子的大小来判断一个人所在的高度，这种间接的方式无疑增加了分析多维运动的难度。对于二维平面中的运动而言，存在一个更为简便的描述方式，那就是利用二维的数字 — 复数来实现二维映射。

复数是通过定义一种旋转来实现维度的扩张，引入的虚数单位 $i$ 就代表一种旋转，数字1乘以 $i$ 就转到了虚轴，再乘以 $i$ 就转到了实数轴负半轴，即乘以 $i$ 表示旋转90度的变换，而原来的实数运算也有了一些新的含义，如乘以-1就是在数平面上旋转180度。在复数平面的其他位置复数就如同一个二维向量，以实部和虚部来表示，但是区别在于向量的两个维度是具有相同意义、平等独立的，而复数的两个维度的含义不仅与向量不同，而且本身还是不对等的，这个不对等表现在乘法法则上。正如前面所说的，在乘法中实部代表伸缩和旋转180度的变换，虚部代表伸缩和旋转90度的变换,而向量的旋转需要利用旋转变换： $\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$ ，实际上复数 $a+ib\cong\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}$ ，即完全可以用二维的笛卡尔坐标实现复数的所有功能，但是就像用极坐标处理圆周问题比较简便，用复数处理带有旋转的对象也是比较简便的，其原因就在于之前所提到的投影与原像的区别，复平面和笛卡尔坐标系的区别还体现在除法上，向量内积是没有逆运算的，因为内积结果的含义是长度，是一个一维的量，降维的过程是不可逆的，而旋转伸缩后的复数还是复数，并且旋转伸缩都是可逆的变换，所以复数的除法是有意义的。复数的强大作用体现在以其为变量的函数即复变函数中，实函数的自变量用一维的数轴即可表示，而复变函数的自变量是二维的复数，我们假设复平面上有一条曲线，这条曲线作为复变函数的自变量，复数的线性运算——加法可以实现对这条曲线的平移，乘法则可以实现对这条曲线的旋转和伸缩，这种类型的变换在几何学中被称为保向的相似变换，每一个这样的变换都可以用复变函数来表示。比如复变函数 $f(z)=z^{2}-1$ 可以将自变量直线 $z=x+i$ 映射成抛物线。

直线得以映射为曲线，这允许我们用一维的自变量去描述二维的因变量，而伟大的欧拉公式允许我们用一维直线上的一个点来确定单位圆周上的一个点，即复变函数 $f(z)=e^{z}$ 将自变量 $z=yi$ (虚轴)映射成了单位圆周。欧拉公式 $e^{it}=cos(t)+i sin(t)$ 可以从 $e^{x}$ 的泰拉级数中导出，也有更为直观的物理解释：当 $t$ 取0时， $e^{it}$ 为1，即0时刻开始，质点处于正半轴上1的位置，把复变函数的输出轨迹视作质点的运动轨迹，那么质点的下一时刻位置由此刻的速度决定，在实函数中我们将满足求导为自身倍数： $f{}'(x)=kf(x)$ ，且初始值为1的函数定义为 $e^{kx}$ ，如果 $k$ 为复数也纳入定义范围之内的话，这个微分方程仍然成立，则就可以对位置 $e^{it}$ 求导得到速度 $ie^{it}$ ，在0时刻速度就为 $i$ ，即速度的方向垂直于实轴大小也为1，如果继续对速度求导可以得到加速度 $-e^{it}$ ，加速度与速度垂直且方向指向原点。0时刻之后的任意时刻速度都会与原点到当前位置的位置向量方向垂直，大小相等，而加速度方向会与速度垂直、指向原点，符合这种规律的运动显然就是匀速圆周运动。总之，复变函数实现了一维自变量到二维曲线的映射，直接以这个匀速圆周运动为研究对象显然比研究一维投影要容易些。

这个容易体现在复数的代数运算比三角函数容易的多，所有的三角恒等式都来自于复数的乘法法则，因此用复数进行计算就不用再记忆繁多的三角函数公式，而是直接进行加减乘除，最后的结果可以通过欧拉公式再转变到三角形式，并且复指数的积分微分法则与实指数相同，在阻尼振动的情景中求解 $e^{at+bt i}$ 的微分方程总是比求解 $e^{at}sinbt$ 要容易的多，因为 $e^{at}sinbt$ 代表的是一条复杂的螺旋线的投影。但是复数的出现并不是出于便于计算的目的，而是一种必然，数字本就应该是二维的，若我们要求解二次代数方程 $z^{2}=p$ ，设 $p$ 为 $e^{i\theta }$ 则 $z$ 就为 $e^{i\frac{\theta }{2}}$ 或 $e^{i(\frac{\theta }{2}+\pi) }$ ，可以发现这两个解是成180度角的，即在同一条直线上的，因此它们的值要么都在实轴上，要么都不在实轴上，因此不定义复数也不会影响我们对实根的求解，但是三次代数方程 $z^{3}=p$ 就不一样了， $z$ 可以为 $e^{i\frac{\theta }{3} }$ 、 $e^{i(\frac{\theta }{3}+\frac{2\pi }{3})}$ 和 $e^{i(\frac{\theta }{3}+\frac{4\pi }{3})}$ ，显然当 $\theta =\pi+3k\pi$ ， $k\in Z$ 时非实数也有可能落到实轴上了，虚实的边界被打破了，倘若不让数字翻身有可能影响到实数根的求解，所以复数必须要出现(感性理解，不一定对)。但是如同极坐标，复数只是因为它独特数学性质在某些领域大放异彩，作为一个数学工具，其抽象到了一定程度，不存在具体的物理意义。

言归正传，复指数函数在 $L^{2}\left [- \pi ,\pi \right ]$ 空间上构成了一组新的正交基：

$\left\{..., \frac{e^{-2xi}}{\sqrt{2\pi}},\frac{e^{-xi}}{\sqrt{2\pi}},\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{e^{xi}}{\sqrt{2\pi}},\frac{e^{2xi}}{\sqrt{2\pi}} ,...\right\}$

在证明其正交之前必须要定义复数的内积，内积定义中很重要的一点就是元素与自身的内积为长度，而长度必须是正实数。所以定义复数内积要对第二变元取共轭，来保证这一点即：

$\left \langle f\left ( z \right ) \right,g\left ( z \right ) \rangle= \int_{a}^{b}f\left ( z \right )\overline{g\left ( z \right )}dt$

可以证明这样定义内积是满足Schwarz不等式与三角不等式的,而这两个不等式等价于夹角和长度的概念。则利用之前的三角函数的性质可得：

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{int}\overline{e^{imt}} (m\neq n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}cos(int)cos(imt)+sin(int)sin(imt) + \\ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}i(cos(int)sin(imt)-sin(int)cos(imt))=0$

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{int}e^{imt}(m= n)=1$

这样一来傅里叶级数就能写为复指数复指数形式（引入 $\omega$ 变量代换后）：

$f(t)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }a_{k}e^{jk\omega _{0}t}$ (与三角形式不同，式中的 $a_{k}$ 不再是实数，而是复数)

同理，系数可由内积求得：

$a_{k}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t) e^{-jkw_{0}t}dt$

在引入了复数之后就再也不用区分 $cos$ 、 $sin$ 的系数了。我们知道这两者的区别仅仅是相位相差90度，而在复数域中 $i$ 代表将复平面的所有点绕原点旋转90度的变换。如果把 $e^{it}$ 看作是匀速圆周转子，那么乘上 $i$ 即 $ie^{it}=e^{i\frac{\pi}{2}}e^{it}$ 相当于让转子位置突然向前变动了半个圆周，其在实轴上的投影分量相位变动了 $\frac{\pi}{2}$ ，而实函数最终只会由实轴投影所叠加而成，虚分量必须抵消。因此原先三角函数形式的基中的 $sin$ 部分就可以表示为复数形式傅里叶系数中的虚部。正因如此偶函数的傅里叶系数必是实数，奇函数的傅里叶系数必是虚数。相位的差别不再用两个不同函数表示，而用一个复数表示，这导致了相位谱这个概念的形成。 $cos$ 和 $sin$ 的统一正是印证了直接以单位圆转子为对象相对一维投影的方便之处。

还有一点就是如果我们直接无视实函数傅里叶级数展开式 (注意不是系数) 的虚部，那么我们可以把傅立叶级数展开式写为：

$f(t)=a_{0}+2Re(\sum_{k=1 }^{\infty }a_{k}e^{jk\omega _{0}t})$

当然这么做是不数学的，我们必须要引入共轭分量即叠加一个反向旋转的单位圆转子来抵消虚部——虚轴投影，正因如此正交基：

$\left\{..., \frac{e^{-2xi}}{\sqrt{2\pi}},\frac{e^{-xi}}{\sqrt{2\pi}},\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{e^{xi}}{\sqrt{2\pi}},\frac{e^{2xi}}{\sqrt{2\pi}} ,...\right\}$

中才会有负系数项，这个负系数项与右半部分的正系数项成共轭关系，在进行 $2\pi=\omega \cdot T$ 的变量代换后这个负系数项对应的就是负频率部分，在加入这一部分后就可以这样表示傅里叶级数：

$f(t)=a_{0}+\sum_{k=1 }^{\infty }a_{k}e^{jk\omega _{0}t}+\sum_{k=-\infty }^{-1 }a_{k}e^{jk\omega _{0}t}$

因此实函数频率谱总是正负频偶对称的，如果将实函数的傅里叶系数拆成实部和虚部，则实部必然关于纵坐标偶对称，虚部必然关于纵坐标奇对称，只有这样对应的正负频相叠加才能抵消虚部，这个性质纯粹是数学上的伎俩，不具有任何物理意义。

四、频谱密度及其性质

接下来就可以扩展出频谱密度的概念了，前面提到过 $L^{2}\left [- \pi ,\pi \right ]$ 空间上的所有函数都是只有在区间 $\left [- \pi ,\pi \right ]$ 上有意义的，其他区间只是周期重复而已，通过引入角速度 $\omega$ 来将一个圆周弧度的微元 $dx$ 代换成时间微元 $dt$ ，以完成一个圆周 $2\pi$ 的时间为周期， $\omega$ 为基频，正交基中其他基函数的系数都是 $\omega$ 的倍数，取基频 $\omega$ 为无穷小，则若想完成一个圆周的运动需要无穷大的时间。这样一来一个周期为无穷大的函数就能在弧度 $\left [- \pi ,\pi \right ]$ 内进行积分了，即可以求出非周期函数在傅里叶基下的表示了。这里需要注意的一点是，虽然时间上扩张到了无穷，但是其仍然要满足 $L^{2}\left [- \pi ,\pi \right ]$ 空间的基本要求，即弧度积分 $\int_{-\pi}^{\pi}\left | f\left ( x \right ) \right |^{2}dx<\infty$ ,这意味着无限时间信号若能傅里叶变换，必须满足 $\int_{-\infty }^{\infty }\left | f\left ( t \right ) \right |^{2}d\omega t<\infty$ ,即为能量有限信号。

将基频取做无穷小使得式 $a_{k}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t) e^{-jkw_{0}t}dt$ 中的 $k\omega_{0}$ 为 $kd\omega$ 微元的整数倍就变成了连续的变量 $\omega$ 则 $a_{k}$ 改写为；

$a_{k}\rightarrow a(j\omega )=\frac{1}{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }f(t) e^{-j\omega t}dt$

可以发现傅里叶系数变成了 $\omega$ 的连续函数，同时数值也变成了无穷小，如果只关心它的形状轮廓即相对大小，而不关心其数值大小就是频谱密度函数了：

$F(j\omega )=\int_{-\infty }^{\infty }f(t) e^{-j\omega t}dt$

对应的傅里叶级数为：

$f(t)=\frac{1}{T}\sum_{-\infty }^{\infty }F(kj\omega _0) e^{kj\omega_{0} t}$

因为频谱密度函数省略了 $\frac{1}{\infty }$ 即 $\frac{1}{T }$ ，所以原时间函数与频谱密度函数差一个比例因子 $\frac{1}{T }$ ，而 $T=\frac{2\pi}{\omega _{0}}$ ,所以还可以写为：

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\sum_{-\infty }^{\infty }F(kj\omega _0) e^{kj\omega_{0} t}\omega _{0}$

$\omega_{0}$ 趋于无穷小求和变为积分：

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty }F(j\omega) e^{j\omega t}d\omega$

直接将 $\omega_{0}$ 替换为 $d\omega$ 是不严谨的，因为可以这么做是建立在 $L^{2}\left [- \pi ,\pi \right ]$ 空间是完备的前提下。这一过程就好像将傅里叶基中的每一项都压缩，使其对应于以 $\omega$ 为变量的坐标轴上的某一个微元 $d\omega$ ，事实上每一个 $\omega$ 都对应于某个 $kd\omega$ ，每一个不同的 $k$ 都对应了 $L^{2}\left [- \pi ,\pi \right ]$ 空间的特征根，这一从离散到连续的过程必然要涉及极限的概念，要想让 $\omega$ 足够“紧”且严丝合缝，那么 $L^{2}\left [- \pi ,\pi \right ]$ 空间中任意柯西序列（函数序列）的极限必须仍属于 $L^{2}\left [- \pi ,\pi \right ]$ 空间，即该空间完备。

傅立的变换满足以下性质：

①线性： $ax(t)+by(t)\leftrightarrow aX(jw)+bY(jw)$

因为傅里叶变换本就是线性空间的基，线性变换自然满足线性性质。

②位移性质：

时移： $x(t-t_{0})\leftrightarrow e^{jwt_{0}}X(jw)$

时间变化一个 $t_{0}$ ，意味着无穷多个 “转子” ，每一个都偏转了 $\omega t_{0}$ 的弧度，因为每个转子的 $\omega$ 不同，所以偏转的弧度也不同。

若将 $e^{j\omega t_{0}$ 视作一个滤波器，则该滤波器就称为线性相位滤波器，因为它对所有不同频率具有相同的时延 $t_{0}$ ，不会使原信号失真。

③共轭对称性： $x(t)\leftrightarrow X(jw) \rightarrow x^{*}(t)\leftrightarrow X^{*}(-jw)$

前面提到过信号实部只能由“转子”的实轴投影叠加而成，虚部由转子的虚轴投影叠加而成，对原信号取共轭，即实轴投影不变，虚轴虚轴投影要相移180度，将转子旋转方向改变，对实轴投影没有影响，实轴投影仍然是从1到0，但是虚轴投影相移了180度，原来是从0到1，现在是从0到-1。对傅里叶变换后的信号取取共轭，得到的是原信号共轭后在反向转子虚轴上的投影，若要得到共轭后的信号在正向转子上的投影，则需要将转子反向，即 $-\omega$ 。

对于实函数来说还有一点就是偶函数的傅里叶系数必是实数，奇函数的傅里叶系数必是虚数，因此实函数的偶函数部分对应频谱密度的实部，奇函数部分对应频谱密度函数的虚部。这点也不难理解，对于复指数函数而言乘个虚数单位只是相位变动四分之一个周期，从cos变成sin，而我们默认实轴投影是余弦，即余弦对应实数，而余弦是偶函数，正弦是奇函数，因此偶函数的傅里叶系数必然只有余弦分量即是实数，而奇函数只有正弦分量，即是虚数。

④尺度变换: $x(at)\leftrightarrow \frac{1}{\left | a \right |}X(\frac{j\omega }{a})$

从式 $f(t)=\frac{1}{2\pi}\sum_{-\infty }^{\infty }F(kj\omega _0) e^{kj\omega_{0} t}\omega _{0}$ 中观察，就会发现这是很显然的性质，因为 $T=\frac{2\pi}{\omega _{0}}$ ，在 $t$ 前面加上系数 $a$ ，则周期变为原来的 $\frac{1}{a}$ ，则对 $x(at)$ 做傅里叶变换，其"基频" ${\omega _{0}}'$ 就比 $\omega _{0}$ 快 $a$ 倍，即 ${\omega _{0}}'=a\cdot\omega _{0}$ ，若用 $\omega _{0}$ 取代 ${\omega _{0}}'$ 来表示 $x(at)$ 的傅里叶变换，即为性质④，这一性质直观的理解就是将音频快进，会产生尖锐的高频噪声，并且在频谱延展的同时原频率的能量也降低，转移到高频。

⑤微积分性质：微分 $\frac{dx(t)}{dt}\leftrightarrow j\omega X(j\omega )$ ; 积分 $\int_{-\infty }^{t }x(\tau )d\tau \leftrightarrow \frac{1}{j\omega}X(j\omega )+\pi X(0)\delta (\omega )$

因为积分需要用到冲击函数，这里先说微分，微分和积分都是线性运算满足齐次可加性，这对于积分而言显而易见，因为积分可以看作是求和(更专业点说的话积分是函数的分割集合的上和的下界和下和的上界)。对于一个函数 $f(x)$ ， $f(x)$ 在 $x$ 点处的微分是 $f(x+h)-f(x)=Ah+o(h)$ 右侧的线性映射 $A$ ，而非线性部分将作为高阶无穷小量，排除在定义外（若不能写成右侧形式即为不可微），由于有这样的定义，微分自然也是线性运算，满足线性性质。因此对函数微分，可以视作是对函数所展开的 “ 傅里叶级数 ” 的每一项 $e^{kj\omega_{0} t$ 进行微分，而 $e^{kj\omega_{0} t$ 的微分就是 $kj\omega_{0}e^{kj\omega_{0}} t$ 。这一性质至关重要，因为这里体现了对傅里叶基下表示的向量做线性变换有多么简便。

五、线性空间的特征函数

对傅里叶级数做线性变换的简便性实际上等同于对对角矩阵左乘矩阵，即对对角矩阵做线性变换，这显然是极为简便的，因为对角矩阵是在以其特征向量为基的坐标下的矩阵的最简表示，特征向量的方向永远不会改变的，所以不论如何在以特征向量为基的坐标下对该矩阵做线性变换，最后的结果都能在特征向量下表示出来，所以对角矩阵的线性变换还是对角矩阵。傅里叶变换之所以能够得到广泛的应用，就是因为傅里叶基的地位等同与“对角矩阵”，傅里叶基是 $L^{2}\left [- \pi ,\pi \right ]$ 空间的特征函数，在这个空间进行的线性变换表现在特征函数上就只是投影长度的缩放(针对 $L^{2}\left [- \pi ,\pi \right ]$ 空间而言的线性变换无法表示成矩阵，而只能作为线性算子

，从函数到函数的映射被称为算子)，积分算子和微分算子都是线性算子，因此积分和微分在傅里叶级数下就是简单的代数运算。为什么傅里叶基会是线性函数空间的特征函数呢？实际上就是因为三角函数的定义，是我们把线性函数空间的特征函数定义为三角函数，进而用三角函数组成了傅里叶基。线性空间的特征函数有两类，一类是指数函数，一类是三角函数。我们在数学上是这么定义这两类函数的，指数函数就是求导等于自己的倍数的非周期函数，而三角函数为二次求导等于自己的倍数的周期函数，指数会爆炸，可以表示正反馈，不稳定。而三角函数会反复震荡，可以表示负反馈，是稳定的。这两类囊括了线性系统可以出现的所有情况，而线性系统的一种典型描述方式就是线性微分方程。正反馈与负反馈的差别只在于作用方向，正反馈加强输入的作用会使输入越来越大，如果系统保持线性的话就会爆炸，实现正反馈必须提供给额外的能量，工程中利用正反馈的典型例子就是振荡器，振荡器的起振就需要利用正反馈来加大振动幅度，所需要的额外能量由有源器件（晶体管放大器）提供，这个正反馈系统要想不爆炸，就必须得是非线性的，因此振荡器还必须利用三极管的非线性特性来达到稳定。而负反馈系统的输出会减弱输入的作用，甚至使输入反向，负反馈系统本身就是稳定的，如果没有损耗，则无需外界提供能量就能持续运转，就像一个没有阻力的单摆，会永远摆动下去，形成了周期运动。归结这两种反馈，无非只是在方向上有所差别，因此是可以归于一类的。

上图是一个小球在不同曲面上的运动（有重力），从这张图可以看出，负正反馈只是阴阳两面之区别，都能用线性微分方程描述。而将这二者结合的“太极”就是复平面，将数字扩展到复数域则线性微分方程的解就可以统一的表示为 $e^{ai+b}$ 的线性组合，这就是线性系统的特征函数。

线性系统为什么重要呢？因为线性系统是可以理解、能够求解的系统，非线性系统伴随着输入与输入之间的相互作用，是非常复杂并且难以确定的，而线性系统假设输入与输入之间不存在相互影响，即线性无关，因此线性系统的解可以叠加，对多个输入的混合量做一个线性变换，等同于对每个输入做线性变换，再将结果叠加。如果线性系统是时不变的，即同样的输入在前一时刻和下一时刻的响应是一致的，那么如果输入是一个与时间相关的函数，则可以在时间上对这个函数进行分解，再分别求出每一个时刻系统的响应，最后叠加得到函数的输出，复杂的输入可以进行分解，降低了问题的复杂性，这就是“分析”。物理学定律基本都由微分、积分、来表示不同量的关系，因此这些定律往往都是线性的，如电学规律的麦克斯韦方程组和量子力学的薛定谔方程。再者现实中的很多问题即便是非线性的，但在某些情况下输入之间的相互影响较弱，则可以近似成线性。

“分析”线性系统需要定义一种新的测度，它能实现对函数的分解，并且是分解到不能再分解。这个测度就是冲击(狄拉克)函数 $\delta$ :

$\delta(t)=\left\{\begin{matrix} +\infty \quad t=0\\0\quad t\neq0 \end{matrix}\right.$

这是一个理想函数，就像一个无限窄且带有能量的脉冲，对这个函数的规定是 $\int_{-\infty }^{+\infty }\delta(t)dt=1$ ，通过式 $\int_{-\infty }^{+\infty }f(t)\delta(t_{0})dt=f(t_{0})$ 就能取出 $f(t)$ 在 $t_{0}$ 处的值， $f(t)\delta(t_{0})$ 是和 $\delta\left ( t_{0} \right )$ 一样的脉冲，但是它所带有的能量与 $f(t_{0})$ 有关，相当于“测”出了 $t_{0}$ 出的 $f(t)$ 的某种特性，因此 $\delta$ 可以视作测度,这个能量具体是多大呢？由 $\int_{-\infty }^{+\infty }\delta^{2}(t)dt=\delta(0)=+\infty$ 可以得出实际上这个能量是无穷大，只有无穷大的能量能够保证可以激励起所有系统，无穷大也是可以存在大小区别的。这样一来函数在 $\delta$ 下的测量值的区别仅仅在于能量大小，其形式都为能量无限的无限高脉冲。利用这个性质，只需求出 $\delta$ 函数在线性系统中的响应即冲激响应，就可以通过线性系统的齐次性（即输入缩放多少倍，输出就缩放多少倍）求出 $f(t)$ 在每个不同的 $t$ 处的 $\delta$ 测量值在线性系统中的响应，而 $\delta$ 函数作用于一个系统，相当于在某一时刻赋予系统无穷大的能量，（就像对弹簧上挂的物体突然施加一个无穷大的力然后瞬间撤去，加速度 $a$ 为无穷大，时间 $t$ 为无穷小，但是 $v=at$ 不为零，使得物体瞬间获得一个速度），如果系统是稳定的，好比弹簧振子，若以振子相对静止时位置的位移 $x$ 作为弹簧振子的状态，则由胡克定律 $F=kx$ ，牛顿运动定律 $F=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$ 可得（假设无阻尼）：

$m\frac{d^{2}x(t)}{dt^{2}}=-kx(t)+F(t)\rightarrow F(t)=m\frac{d^{2}x(t)}{dt^{2}}+kx(t)$

显然在给定外力 $F(t)$ 下位移 $x$ 可以通过求解线性微分方程求得，那么系统的响应（振子位移 $x$ ）将是一个振动函数(无阻力损耗)，或是一个衰减函数(阻尼振动)即 $Ae^{(a+bj)t}$ ，而系数 $A$ 则与具体的能量大小有关，施加的力越大，初速度及位移自然也就越大。这样的一个冲激响应就包含了整个线性系统的所有信息。

求 $f(t)$ 的响应等同于使弹簧振子进行受迫振动，强迫力为 $f(t)$ ，如果已经获取了这个振子的冲激响应，则每一时刻的力在振子上的响应就被确定了，每一时刻的力在振子上的响应都随时间不断的变化，比如第0秒的力所产生的速度在0秒时为1，到了第1秒就变成了0.5，第1秒的力产生的速度为0.8，如果只在这两个瞬间存在力，根据线性性质，第一秒的的总速度就为1.3。

这种按时间平移再叠加的操作就称为卷积，系统的冲激响应为 $h(t)$ ，则 $f(t)$ 在系统中的输出 $y(t)$ 可由卷积表示为：

$y(t)=\int_{-\infty }^{+\infty }f(\tau)h(t-\tau)d\tau$

$h(t)$ 可以对应于弹簧振子的速度 $v(t)$ 或者位移 $x(t)$ （ $v(t)$ 为 $x(t)$ 导数，振动函数的导数还是振动函数，只是振幅相位不同）。以 $x(t)$ 作为弹簧振子对外力的响应，则冲激响应 $h(t)$ 就为外力为冲激函数 $\delta(t)$ 时的 $x(t)$ ，因此 $h(t)$ 可以由下式求得:

$\delta(t)=m\frac{d^{2}h(t)}{dt^{2}}+kh(t)$

这样一来通过解出 $h(t)$ 再利用卷积即可求得系统的总响应。还有一种能够求得系统总响应的方法，那就是利用线性系统的特征函数。考虑振子受迫振动的情况，如果外力 $F(t)$ 以 $F_{0}cos\omega t$ 随着时间周期变化，则达到稳态后 $x(t)$ 必然也以 $Ccos\omega t$ （ $C$ 为待定系数）随着时间周期变化。换句话说，可以设想，如果不断的来回推物体，物体最终会与力同步地来回运动。将弹性系数用 $m\omega _{0}^2$ 替换（ $\omega _0$ 为振子的固有振动频率）得：

$-m \omega^{2} \operatorname{Ccos} \omega t=-m \omega_{0}^{2} C \cos \omega t+F_{0} \cos \omega t$

可以解得

$C=\frac{F_{0}}{m\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)}$

物体最终的振幅与力的大小成正比，和力的震荡频率与固有频率的差成反比。这非常符合物理直觉，力越大自然振幅越大，频率接近固有频率时发生共振自然幅度最大，共振现象就好比推一个以固有频率自然摇摆的秋千（固有摆动频率只和摆线长度有关），当推力与固有频率同步时，即秋千沿某一方向上升时力也向该方向推，沿某一方向下降时力也向该方向往回拉。以这样的频率出力自然效果是最好的。从这个例子可以看出一个线性系统，若以 $cos\omega t$ 为输入则必然以 $\lambda cos\omega t$ 为输出，区别只是在系数 $\lambda$ 上，以总线性算子 $f$ 表示微分方程中线性算子（微分算子、二阶微分算子）的集合，则 $\lambda cos\omega t=f \{cos\omega t\}$ ,因此 $cos\omega t$ 为算子 $f$ 的特征函数， $\lambda$ 为特征函数 $cos\omega t$ 的特征值。为了充分利用这个性质，我们可以考虑另一种 $F(t)$ 的分解策略，之前是利用 $\delta(t)$ 将 $F(t)$ 在时间上进行划分，现在则将 $F(t)$ 分解成 $a cos(\omega_{n} t+\varphi )$ 的级数，即对 $F(t)$ 做傅里叶变换得到 $F(\omega )$ ，将其投影到线性空间的特征函数上， $F(\omega_0 )$ 就是频率 $\omega _0$ 处的特征值。如果我们能够得到线性系统对所有频率的单位响应，就可以利用 $F(\omega )$ 获取最终的响应。比如之前的弹簧振子，我们可以计算出它对大小为 $cos\omega t$ 的力的响应 $x(t)=\frac{1}{m\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)}cos\omega t$ ，那么只要我们知道 $F(t)$ 在 $cos\omega t$ 上的分量为 $F_{0}$ ，根据线性系统的齐次性就可以得到 $x(t)$ 在 $cos\omega t$ 上的分量为 $C=F_{0}\cdot \frac{1}{m\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)}$ 。在特征函数下表示线性系统的输入和输出，就可以将复杂的卷积变成数乘。现在唯一缺少的就是线性系统对所有频率的单位响应。 $\delta(t)$ 在傅里叶基 $\left\{..., \frac{cos(2x)}{\sqrt{\pi}},\frac{cos(x)}{\sqrt{\pi}},\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{sin(x)}{\sqrt{\pi}},\frac{sin(2x)}{\sqrt{\pi}} ,...\right\}$ 的每一项上的分量恰好都为1(原因见下节)即 $\delta(t)$ 的傅里叶变换为常数1，利用线性系统的可叠加性可得线性系统对 $\delta(t)$ 的响应 $h(t)$ 恰好就是其对傅里叶基中的每一项的响应的叠加。将 $h(t)$ 在傅里叶基上表示，即求 $h(t)$ 的傅里叶变换得到 $h(\omega)$ ， $h(\omega)$ 即为线性系统对所有频率的单位响应。将 $F(\omega )$ 与 $h(\omega)$ 相同 $\omega$ 处的值相乘就得到了在傅里叶基上表示的总输出 $Y(\omega )$ ，利用傅里叶逆变换就能得到 $y(t)$ 。将 $F(t)$ 在时间上进行脉冲分解可以利用卷积求解输出，将 $F(t)$ 在傅里叶基上进行正交分解可以通过对应频率分量直接相乘得到输出，这是两种完全不同的视角，但却得到了相同的结果。将卷积与傅里叶变换联系起来的正是狄拉克函数 $\delta$ ，只有通过“分析”才能真正理解二者联系。

六、傅里叶级数的收敛性与离散傅里叶变换

对于一个只有有限个间断点的分段连续函数来说，它的高频分量会趋于零，即随着 $k$ 的增大，其傅里叶系数 $a_{k}$ 、 $b_{k}$ 趋于零，这也正是离散余弦变换(DCT)可以进行数据压缩的根本原因，大部分情况下高频分量是比较小，可以舍去的。这一点实际上十分直观，因为如果 $f(x)$ 相对 $sin(kx)$ 比较平缓，那么其乘积 $f(x)sin(kx)$ 在 $x$ 轴上下的面积几乎可以抵消，其在每个周期内的积分值近似为零，也就是说 $f(x)$ 的 $k$ 次谐波分量趋近于零，对于一个不是“完全陡峭”（像冲激函数那样陡峭）的函数，随着 $k$ 的增加， $f(x)$ 总会变的相对平缓。

这个性质叫做黎曼-勒贝格引理，其严格证明如下：

$\int_{a}^{b}f(x)cos(kx)=\frac{sin(kx)}{k}f(x)|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}\frac{sin(kx)}{k}{f}'(x)dx\\=\frac{sin(kb)f(b)-sin(ka)f(a)}{k}-\int_{a}^{b}\frac{sin(kx)}{k}{f}'(x)dx$

等式右边分子有界而分母 $k$ 可以趋于无穷，随着 $k$ 的增大趋于零。对于间断点的话，如果仅有有限个间断点，其在 $x$ 坐标下所占据的宽度仅为 $dx$ ，有限个 $sin(kx)dx$ 相加仍然只是无穷小量。接下来就是傅里叶级数在每一点处的收敛性了，即 $f(t_{0})=\sum_{k=-n }^{n }a_{k}e^{jk\omega _{0}t_{0}}$ 在 $n\rightarrow\infty$ 时成立，表明傅里叶级数在 $t_{0}$ 点收敛。对于连续点来说，或是范围扩大到可去间断点，显然是会收敛的，但是对于跳跃间断点而言，其左右极限不相等，显然不会收敛，这种不会收敛的现象叫做吉布斯效应。还有一种收敛叫一致收敛，它是针对函数的每一点的，如果存在一个 $N$ ，当 $n\ge N$ 时对于任意一个 $t_{0}$ 都有 $\left | f(t_{0})-\sum_{k=-n }^{n }a_{k}e^{jk\omega _{0}t_{0}}\right |<\varepsilon$ 成立，即每一点都收敛，则 $f(t)$ 一致收敛，可以证明周期为 $2\pi$ 的分段光滑函数的傅里叶级数在 $[-\pi,\pi]$ 上是一致收敛的。而存在跳跃间断点的函数的傅里叶级数不是一致收敛的，它在间断点处不存在这样的 $N$ 。正因如此离散序列的傅里叶变换到 $\omega \rightarrow \infty$ 处仍不为零，绝对陡峭的函数不论相对多少次的谐波，都不可能是平缓的。比如对一个冲激函数 $\delta (t)$ 求傅里叶变换，对任意的 $k$ ， $a_{k}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\delta (t) e^{-jkw_{0}t}dt=\frac{1}{T}\neq 0$ ，如果周期 $T\rightarrow \infty$ ，且以 $\frac{1}{T}$ 为纵轴单位（频谱密度），即可得到 $\delta (t)$ 的傅里叶变换 $F(jw)=1 \, \, \, \, \, w\subseteq (-\infty ,+\infty )$ 。对于一个位于 $t_{0}$ 处的离散值，其傅里叶变换为 $F(j\omega )=\int_{-\infty }^{\infty }f(t_{0}) e^{-j\omega t_{0}}dt$ ，当

$\omega_{2} t_{0}=\omega_{1} t_{0}+2\pi$ 时， $F(j\omega_{2} )=F(j\omega_{1})$ ,因此离散(时间)序列的傅里叶变换不但是不收敛的还是呈周期性的，离散序列的傅里叶变换称为DTFT。离散序列的傅里叶变换DTFT及其逆变换表示为：

$X(e^{j\omega })=\sum_{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{jwn}$

$x(n)=\frac{1}{2\pi}\int _{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{jwn}d\omega$

离散序列的傅里叶变换十分重要，因为离散序列是计算机中表示信息的形式。但是离散序列的傅里叶变换结果仍是连续的，计算机中无法表示，因此有必要频谱离散化，这样的傅里叶变换就是DFT。周期函数的傅里叶级数是离散的，周期为 $T$ 的函数只能由周期的整数倍为 $T$ 即频率为 $\frac{2\pi}{T}$ 的倍数的三角函数叠加而成。因此DFT的实现方式是：取一段有限的离散序列，为这段序列设定一个周期 $T$ ，序列的每个点在 $T$ 上等间隔分布，则 $\frac{2\pi}{T}$ 就成为该序列傅里叶变换的基频。在采样频率一定的情况下，采取的点数越多 $T$ 越大，频谱越密，所以说频谱的密集程度与信号的观测时间有关，还有一种情况，就是当观测时间一定的情况下采样率越高，点数也就越多，频谱也就越密集。这两种情况是完全不同的，在采样频率一定的情况下，增加采样点数减小了基频，基频就是频谱的分辨率，每条谱线都是基频的倍频，因此观测时间决定了频谱分辨率的极限，在周期趋于无穷大时，DFT就成了DTFT，DTFT的频率分辨率是无穷高的，但是离散化导致的频谱周期化进而引起的频谱混叠决定了即使采样时间再久，只要不提高采样频率也只能得到近似的频谱，在采样频率能达到目标信号最高频率两倍时频谱混叠的现象才会消失；在采样时间一定的情况下，增加采样点数可以获得对应基频的更多倍频信息，采样率趋于无穷也不能获取夹在两个基频之间的某个频率的正确分量，限定了时间就好比在时域乘了一个矩形窗，相当于在频域卷积上了一个sinc函数，sinc函数带有无限长的拖尾，因此时域加窗会导致频谱泄露到无限大，再加上采样导致的周期化，频谱混叠是必然的，sinc衰减较慢的旁辦会导致频谱的振铃现象。

实际上时间有限信号不可能是带限信号，傅里叶分解本质上是将函数分解成不同频率相位的正弦波形，一个函数即便非常平滑的过渡到零，但是只要其不是一直为零，其仍然会引入离散分量，进而由离散分量导致频谱的无限扩展，这样的函数的一个典型代表为升余弦函数：

升余弦函数的两测都平滑的减少到零，如果按照之前的理解，其不存在“突变”的位置，频谱应该是有限的，而事实却是升余弦函数的频谱的旁瓣非常小，但是却不为零。原因就是不同相位频率的正弦波平缓变化的位置永远是在波动到最大或最小值的时刻，而不是减到零的时刻，因此升余弦应该视作为一个门函数加上余弦函数的一个周期，而门函数和余弦函数从 $-\pi$ 到 $\pi$ 的一个周期在边界点都存在跳跃间断点。如果取 $f(x)$ 为余弦波从 $-\frac{\pi}{2}$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 的半个周期，则边界处相当于斜率为1的直线突变为斜率为0的直线，无论 $k$ 有多大，这一个离散的突变都不会使 $f(x)sin(kx)$ 为0，傅里叶级数可以逼近一个带有棱角的信号，但是不能完全表示，这也是拉格朗日拒稿傅里叶的原因。在这种情况下，傅里叶级数一致收敛，而升余弦函数的傅里叶级数却是非一致收敛的。总之，对于衰减到零的信号不论其衰减过程是平滑的或者突变的，其频谱总是无限的。

所谓的频谱混叠现象实际上描述的是时域中的这样一种现象：

离散傅里叶变换DFT及其逆变换表示为：

$X(k)=\sum_{n=0 }^{N-1 }x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$

$x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0 }^{N-1 }X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}$

式中 $N$ 相当于周期 $T$ ， $\frac{2\pi}{N}$ 就是基频，如果采样的间隔时间相等，则 $N$ 越大，频谱分辨率越高。DFT在数字图像处理领域也得到了广泛应用，数字图像是通过带有不同信息（如R、G、B值）的像素点来描述的，以像素点的位置为自变量，像素点的取值为因变量，形成一个二维离散序列，对这个二维序列进行DFT（DFT的变换核具有可分离性，二维DFT可以看作先对一维进行DFT再对DFT结果在二维进行DFT得到）就可以得到整张图片的像素值随位置变换的剧烈程度，通过舍弃一些高频分量，再进行IDFT就能实现图像平滑。在进行IDFT时增加采样点数还能实现对图像的三角插值，理解这个插值的关键是IDFT实际上包含了一个采样的过程，IDFT通过有限个频率三角函数叠加出“连续原函数”，由于“真实原函数”是离散的，需要在原函数对应的离散点处对 “ 连续原函数 ” 进行采样来恢复“真实原函数”，如果采样点数比“真实原函数”的总点数多，就实现了三角插值。需要意识到的一点是 “ 连续原函数 ”上与“真实原函数”对应的离散点处的取值是准确的，而新增的点是利用三角函数的波形特性估计出来的。在这一过程中信息量没有增加，只是增加了一个主观先验。DFT使得傅里叶变换从连续转移到了离散，其本质上还是同一个线性变换，但是离散性使其得以通过简单的线性代数来描述，而无需涉及泛函。线性变换可以用矩阵描述，DFT的矩阵表示为：

$W = \frac{1}{\sqrt{N}} \begin{bmatrix} 1&1&1&1&\cdots &1 \\ 1&\omega&\omega^2&\omega^3&\cdots&\omega^{N-1} \\ 1&\omega^2&\omega^4&\omega^6&\cdots&\omega^{2(N-1)}\\ 1&\omega^3&\omega^6&\omega^9&\cdots&\omega^{3(N-1)}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&\omega^{N-1}&\omega^{2(N-1)}&\omega^{3(N-1)}&\cdots&\omega^{(N-1)(N-1)}\\ \end{bmatrix}$

其中 $\omega$ 为 $e^{-j\frac{2\pi}{N}}$ ，计算DFT只需将矩阵左乘向量（序列）即可，DFT能够得到广泛应用的一个关键因素是快速傅里叶变换算法FFT，FFT将DFT的时间复杂度由O(n2)降低到了O(nlogn)。FFT算法利用了 $e^{-j\frac{2\pi}{N}}$ 的周期性即 $e^{-j\frac{2\pi}{N}}=e^{-j(\frac{2\pi}{N}+2\pi)}$ 、对称性即 $e^{-j\frac{2\pi}{N}}=-e^{-j(\frac{2\pi}{N}+\pi)}$ ，以及周期可变性（变小） $e^{-j\frac{2\pi}{(\frac{N}{m})}}=e^{-j\frac{m2\pi}{N}}$ ,周期变小就是通过采样来实现的，每m点取1点则点数就从N点变成了N/m点，如果认为采样出来的每个点之间的时间间隔与采样前序列相同，则总观测时间即周期缩小了m倍。对于连续傅里叶变换，由于频率不同必然导致三角函数波形不同，所以在计算中不存在冗余，但是对于离散化的三角函数序列而言不同频率的波形在特点采样点的值可能是相同的，这就导致相同的数值计算可能出现了多次，计算上产生了冗余，存在优化的空间。而FFT就是利用离散化的三角函数特有的性质消除了这些冗余。FFT的具体实现为：先利用周期可变性将待变换序列重新采样，采出奇序号点列与偶数序号点列，这两个点列点数减小了一半，相当于周期小了一半。原序列 $F(k)$ 与奇偶列的关系为

$F(k)=\sum_{n=2t} \omega_{N}^{kn} x_n + \sum_{n=2t+1} \omega_{N}^{kn}x_n\\= \sum_{t} \omega_{\frac{N}{2}}^{kt}x_{2t} + \omega_{N}^{k}\sum_{t} \omega_{\frac{N}{2}}^{kt}x_{2t+1}= F_{even}(k) + \omega_{N}^{k}F_{odd}(k)$

和 $F_{odd}(k)$ 都是以N/2为周期的，因此 $F(k)$ 与 $F_{even}(k) + \omega_{N}^{k}F_{odd}(k)$ 并不等价，因为奇角标点或偶角标点之间的时间间隔原本是2倍的原序列时间间隔，但是这里 $k$ 是相同的，因此这两个间隔被视作相同，因此只有 $k<\frac{N}{2}$ 时与原序列相等，之后就进入下一个周期了。要计算 $k>=\frac{N}{2}$ 时的取值则需要利用离散三角序列的性质。

$F_{even}(k)$ 的周期为N/2，根据周期性，有 $F_{even}(k+\frac{N}{2})=F_{even}(k)$ ,而的周期为N，则 $F_{wodd}(k)=\omega_{N}^{k}F_{odd}(k)$ 的周期也为N，由对称性有 $F_{wodd}(k+\frac{N}{2})=-\omega_{N}^{k}F_{odd}(k+\frac{N}{2})$ ，则 $F(k+\frac{N}{2}) = F_{even}(k) - \omega _{N}^{k}F_{odd}(k)$ ,因此算出和就可以得到完整的原序列了，这两个序列的点数是原来的一半，每次都对半分 $O(N^{2})\rightarrow 2\cdot O((\frac{N}{2})^{2})$ ，总的时间复杂度从 $O(N^{2})$ 下降一半变成 $2\cdot O((\frac{N}{2})^{2})=O(\frac{N^2}{2})$ ，对每一个子DFT再重复同样的分法，最后时间复杂度即为 $Nlog_2N$ ，能分解到最后一层的前提是点数为2的整数次幂。FFT使得在计算机中计算离散卷积更有效率，但是并不是所有的卷积用FFT都能加速，如果进行卷积的两个序列中有一个特别短，则直接进行卷积即不进位乘法或者滑动相乘更有效率，例如深度学习中的卷积神经网络就采用直接卷积，二维图像的直接卷积可以通过将其中一个二维矩阵(图像)写成列向量，另一个二维矩阵(卷积核)写成块循环矩阵，然后进行矩阵乘法得到。因为卷积网络的卷积核一般比较小，所以采用FFT进行频率域卷积反而更慢，占用内存更多。值得注意的是由于DFT的离散性是建立在将变换前序列周期化的前提下，因此与进行DFT后相乘再IDFT这个过程等价的卷积是循环卷积，即滑动相乘时在边界处会乘到下一个周期的数，要想实现线性卷积，必须在进行DFT之前给原序列补零。

如图所示，如果直接周期化而不是先补零，那么滑动相乘时就会乘到下一个周期去，卷积结果就会与直接卷积不同。如果将两个序列补零至两个序列的长度和-1即m+n-1则周期化后滑动相乘恰好不会碰到下个周期，卷积结果的一个周期与直接卷积结果相等。

七、拉普拉斯变换与Z变换

前面提到了线性函数空间有两类特征函数，分别是三角函数 $f(x)=e^{aix}$ 、指数函数 $f(x)=e^{bx}$ ，傅里叶变换的一大优点就是能将微分方程转变成简单的代数方程，即用乘除法来取代微积分运算。但是遗憾的是，对于任意 $[-\pi,\pi]$ （一个周期）范围内的函数来说傅里叶基不是完备的，只有属于 $L^{2}[-\pi,\pi]\textup{}$ 空间的函数即一个周期内勒贝格积分存在的函数才具有傅里叶变换，如果所指的积分是黎曼积分，则需要满足狄利克莱条件。对于稳定的线性系统，或是通讯信号来说，系统的响应或信号强度在一个周期内都满足绝对可积条件，傅里叶变换就足够了。但是对不稳定的系统进行分析也是有必要的，因此出现了以线性函数空间的所有特征函数为基的拉普拉斯变换。傅里叶变换是傅里叶级数在基频取无限小时的极限形式，理解傅里叶变换就要从傅里叶级数开始，而拉普拉斯变换其实与泰勒级数有着紧密的联系，要理解拉普拉斯变换就要从泰勒级数开始。一个函数 $f(x)$ ，若它在 $x=x_{0}$ 点处无穷阶可导，则在这一点邻域内它可以展开成泰勒级数：

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}$

直观上理解，泰勒级数是利用幂级数的特殊性质，不断模仿函数的导数来实现对函数的近似的。每加入一个新的项，对导数的模仿就高一阶，关键的一点是新加的项对之前项的模仿结果不造成影响，只对更高一阶的导数值造成影响。对于特定的函数，往往有特定的邻域大小，这个邻域大小又称为泰勒级数的收敛半径。为了便于讨论，取，则

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x)^{n}$
该式又被称为麦克劳林级数。 $x\in (-1,1)$ 时幂级数是收敛的，因此对于任意无穷阶连续可导的函数，收敛半径总会包括 $(-1,1)$ ，在某些特殊情况下收敛半径可以是 $(-\infty ,\infty )$ ，比如 $f(x)=e^{x}$ ，并且利用线性无关的定义可以证明对于不同的 $n$ ， $x^{n}$ 是线性无关的，因此多项式级数 $\{1,x,x^{2},x^{3},\cdots \}$ 可以视作为 $L^{2}[-1,1]\textup{}$ 空间上的一组基底。因为这组基底并不是正交基，所以利用-1到1的积分是不能得到泰勒系数的，但是只要这组基是完备且线性无关的，总可以通过shimidt正交化得到一组正交基，而这组正交基其实就是勒让德多项式。接下来类似从傅里叶级数到傅里叶变换，将多项式级数推广到连续形式。在傅里叶级数中被扩展的离散量是基频，基频取无穷小才得到了连续的频谱密度，多项式级数中对应的离散量是多项式的阶数，函数 $A(x)$ 的多项式级数分解为:

$A(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}$

系数为序列 $\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\cdots \}$ ,将阶数之间的间隔从1缩小到无穷小记为 $dt$ ，则无穷多个系数对应的自变量的间隔从1变成 $dt$ ，形成了一个连续函数，把这个函数记为 $f(t)$ ，则多项式级数就可写成：

$A(x)=\int_{0}^{+\infty }f(t)x^{t}dt$

改变一下形式，将 $x^{t}$ 写成 $(e^{lnx})^{t}$ ，这样一来 $x$ 的范围就被限定在 $(0,1)$ ， $ln(x)$ 的取值范围就为 $(-\infty ,0)$ ，再做变量代换，令 $s=-ln(x)$ ，则 $s$ 的取值范围就为 $(0,+\infty )$ ，令 $F(s)=A(e^{-s})$ ,则就得到了拉普拉斯变换的实数表达式：

$F(s)=\int_{0}^{+\infty }f(t)e^{-st}dt$

这个拉普拉斯变换是单边的即积分限只包括正半轴，实际上任何双边的初等信号都不具有拉普拉斯变换，因为指数是一边收敛一边发散的。所谓的双边拉普拉斯变换只不过是正半轴、负半轴两个拉普拉斯变换叠加而已，对于正半轴 $s\in (0,+\infty )$ ，但是对于负半轴 $t$ 取负值，但是多项式基的阶数不能为负，为了使拉普拉斯变换能够进行，要求 $s\in (-\infty,0 )$ ，这相当于将坐标翻转后再进行单边拉普拉斯变换。 $s>0$ 意味着 $-ln(x)>0$ ，即 $x<1$ ，在 $t$ 取负值时，在进行拉普拉斯变换时 $s<0$ 也等价于 $x<1$ ，但是对于同样的映射 $s=-ln(x)$ ， $s<0$ 则要求 $x>1$ 。 $(0,1)$ 是所有幂级数共同的收敛域，但是某些特殊的函数如 $f(x)=e^{x}$ 的泰勒级数在 $x>1$ 时同样收敛于函数值， $f(x)=e^{x}$ 的泰勒级数系数为自然数倒数的阶乘，其无穷项求和极限为 $e$ ，在连续化之后必然对应于0到无穷大积分为 $e$ 的函数，即 $e^{-at}$ ，所以当 $f(t)=e^{-at}$ 时， $s$ 的取值范围可以放宽，正半轴拉氏变换的收敛域 $s>0$ 可以略微延展到 $s$ 大于某个负值，负半轴拉氏变换同理。也就是说双边信号的拉式变换收敛域有可能有共同部分，若有共同部分则表示该信号的双边拉普拉斯变换存在。更直观的说就是一个双边信号要有双边拉氏变换，它可以在正半轴指数级增长，但是同时在负半轴必须指数级衰减到0。对于双边拉式变换，收敛域即 $s$ 的取值范围非常重要，因为左右半轴的信号可以具有同样形式的变换后形式，只能通过 $s$ 加以区分。可以很直观的看出如果 $f(t)$ 取诸如 $e^t$ 那样不收敛的函数，在 $s$ 取合适值的情况下，指数被抵消 $F(s)$ 仍是个普通的代数式，但是仍然有必要通过非直观的方式加深理解。实数范围的拉普拉斯变换与傅里叶变换有一个很大的差异：对于傅里叶变换，变换后的函数是傅里叶基的系数，因此我们需要通过内积求系数，变换前函数与其在傅里叶基上的系数的联系是通过积分建立的；而对于实拉普拉斯变换，我们所做的是将函数 $f(t)$ 视作幂级数的系数，即在变换之前就是多项式基的系数，然后通过对幂级数求和获得原函数 $F(s)$ ，原函数和多项式基的系数是通过求导建立的。对于实拉普拉斯变换可以举一个离散的例子， $e^t$ 离散化形式为 $\left \{ 1,e,e^2, e^3\cdots \right \}$ ，现在假设 $\left \{ 1,e,e^2, e^3\cdots \right \}$ 为幂级数基 $\{1,x,x^{2},x^{3},\cdots \}$ 的系数，则某个向量在幂级数基下的表示为： $1+ex+e^2x^2+e^3x^3+\cdots$ ，通过泰勒级数可以很容易的确定这个向量（函数）为： $\frac{1}{1-ex}$ ，只要 $x$ 在收敛域内，这个代数式与其泰勒级数等价，虽然看上去是 $x$ 的函数，但是 $x$ 的作用就像是挂衣架，真正要研究的是 $x$ 的系数(衣服)，只是我们可以确定在一定条件下 $\frac{1}{1-ex}$ 完整的保留了 $\left \{ 1,e,e^2, e^3\cdots \right \}$ 的信息（通过泰勒级数获取），这样一来就可以通过对 $\frac{1}{1-ex}$ 进行计算来代替对级数的计算，像这样的函数在组合数学中又称作母函数。先抛开复数和傅里叶级数，假设 $z$ 变换是实拉普拉斯变换的离散形式，则实际上前面提到的 $x$ 实际上就是 $z$ 。组合数学中有专门利用母函数求解线性常系数齐次递推式（差分方程）通项公式的方法，这个方法实际上等同于 $z$ 变换求解差分方程，差分方程是微分方程取 $\triangle x=1$ 的特殊情况，微分方程是差分方程 $\triangle x\rightarrow 0$ 的极限形式，因此 $z$ 变换对求解差分方程起到的作用等同于拉普拉斯变换对求解微分方程起到的作用。

八、滤波器

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一、线性空间

二、 $L^{2}$ 空间的基

三、复数与傅里叶变换

四、频谱密度及其性质

五、线性空间的特征函数

六、傅里叶级数的收敛性与离散傅里叶变换

七、拉普拉斯变换与Z变换

八、滤波器

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