量子力学 or 线性代数（六——动量、能量）
量子力学与线性代数的前世今生（六）
- 一 . 动量与能量
不知不觉中，我们量子力学的博客入门学习已经进入到第六课的学习中了。客观的讲，还是比较难的，特别是对于我这种高中基础不扎实，大学学的专业和量子力学关系不是很大的单身狗程序员来说，而且在学习对的过程中我们总是不断的引入新的公式和概念，往往半天下来，感觉自己啥也没学到，。但是你懂得，其实一个人在焦躁与难受，想要放弃的时候 学的知识才会更加的刻骨铭心！！每当我准备把电脑一关，手机TIMI一开， 准备撂挑子不干的时候，我就会觉得：怎么能这样，XXX，你的梦想呢？报负呢？被狗吃了么？（请允许我在这里 冠冕堂皇一次hhヽ(°▽、°)ﾉ），所以在这里 ，希望小伙伴们能咬咬牙坚持下去！！
一 . 动量与能量
我们先来回顾上一次学习的 薛定谔方程:
ihˉ∂∂tψ(x,t)=(−hˉ22m∂2∂x2+V)ψ(x,t)i\bar{h}\frac{\partial }{\partial t} \psi \left ( x,t \right ) =\left ( -\frac{\bar{h}^{2}}{2m} \frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}+ V\right )\psi \left ( x ,t\right )ihˉ∂t∂ψ(x,t)=(−2mhˉ2∂x2∂2+V)ψ(x,t)
在前面我们为了推导这个巨复杂的公式，在推导的过程中我们引入了两个新的公式：
一个是坐标表象下动量算符的具体形式：
p^=−ihˉ∂∂x\widehat{p} = - i\bar{h}\frac{\partial }{\partial x}p=−ihˉ∂x∂
另一个是态矢量的时间变化率与能量算符(哈密顿算符 )之间的关系：
∂∂t∣ψ>=H^ihˉ∣ψ>\frac{\partial }{\partial t}|\psi > =\frac{ \widehat{H}}{i\bar{h}}|\psi >∂t∂∣ψ>=ihˉH∣ψ>
在第一次接触这两个公式的时候，我们大部分同学都是比较懵的，下面，我们将详细的为大家介绍这2个公式以帮助大家更加深刻的理解薛定谔方程！
我们在第四次博客学习的中提到过，一个算符 F^\widehat{F}F 对应一组本征值和本征态，并且满足本征值关系：
F^∣α>=Fa∣α>\widehat{F}|\alpha > = F_{a}|\alpha >F∣α>=Fa∣α>
并且我们知道，如果我们能找到它的本征态在某个表象下的具体形式，并且在具体计算中得到上述关系，那么我们也就能相应地找到 F^\widehat{F}F 的具体形式。
如果有小伙伴忘记了，戳这里复习…
下面，高能预警，我们可能会遇到更多的新知识，坚持就是胜利。。。。
奇思妙想的同学们可能会提问：有没有一些同时具有确定动量和能量的态，它们既是动量的本征态，也是能量的本征态？ 这样的话 ，我们是不是能在某种程度上结合这2个式子呢？
但是，又有同学会问，根据不确定性原理，两个物理量不是不能同时确定吗？？
其实，不确定性原理的针对 对象是两个共轭的物理量，像动量与位置，时间和能量，而对于动量与能量来说，是可以同时确定的！换个说法，我们高中就学过，动量 p=mvp=mvp=mv,而 p22m=Ek\frac{p^{2}}{2m}=E_{k}2mp2=Ek,我们可以随时将动量转化为能量，所以其实他两的本质是一致的~
所以说，理论上讲，我们是可以找到这样的一个本征态，既是动量的本征态，也是能量的本征态！
其实啊，早在高中的学习中我们就见过它了？ 德布罗意波？想起来没有？
正所谓： 世界上并不缺少美，而是缺少发现美的眼睛——罗丹
德布罗意波，是一类特殊的波函数，具有确定的波长 λ\lambdaλ ,和频率 vvv,并且有公式如下(hhh表示普朗克常数)：
p=hλ,E=hvp= \frac{h}{\lambda } , E=hvp=λh,E=hv
其次我们再来将波长和频率的简谐波写成三角函数形式：
ϕ(x,t)=cos(2πλx−2πvt+φ)\phi \left ( x,t \right )= cos\left ( \frac{2 \pi}{\lambda }x - 2\pi vt + \varphi \right )ϕ(x,t)=cos(λ2πx−2πvt+φ)
这个式子太复杂了，我们用 k=2πλ,ω=2πvk= \frac{2\pi}{\lambda },\omega = 2\pi vk=λ2π,ω=2πv来代替，其中：
kkk 称为波数，它指的是一个 2π2\pi2π 长度的范围内的波的个数(不必为整数 )；ω\omegaω是叫频率，这些东西高中都是应该滚瓜烂熟的，在这里就不赘述了！
所以，化简后我们得到: ϕ(x,t)=cos(kx−ωt)\phi \left ( x,t \right ) =cos\left ( kx-\omega t \right )ϕ(x,t)=cos(kx−ωt)，同理，根据前面的两的个替换式，我们还能将德布罗意波的两个式子改成(其中,hˉ=h2π\bar{h} = \frac{h}{2\pi}hˉ=2πh, 叫做约化普朗克常数)：
p=hˉk,E=hˉωp= \bar{h}k ,E= \bar{h}\omega p=hˉk,E=hˉω
注意，这两个式子也就是相对应的动量本征值和能量本征值。
接下来，我们将引入欧拉公式，其目的也就是为了我们后面的推导寻求一种更简便的方法：
eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta } = cos\theta + isin\theta eiθ=cosθ+isinθ
我们改写一下原来的波函数得到： ϕ(x,t)=cos(kx−ωt)\phi \left ( x,t \right ) =cos\left ( kx-\omega t \right )ϕ(x,t)=cos(kx−ωt)得到：
ϕ(x,t)=ei(kx−ωt)\phi \left ( x,t \right ) = e^{i(kx-\omega t)}ϕ(x,t)=ei(kx−ωt)
特别注意：前面第一个式子是实数形式解，写成后面那个复数形式同样解同样落足原方程！复数形式（特别度是指数形式版的那个）运算起来简便，量子力学中都取这种形式。因此这属于解的不同表达，并不是此解推出了那解，也绝非是用权欧拉公式转换之类。
显然这是一个波函数，下面我们将用动量算符 p^=−ihˉ∂∂x\widehat{p} = - i\bar{h}\frac{\partial }{\partial x}p=−ihˉ∂x∂作用在这个（双）本征态上并看看结果如何：
−ihˉ∂∂xϕ(x,t)=−ihˉ∂∂xei(kx−ωt)- i\bar{h}\frac{\partial }{\partial x} \phi \left ( x,t \right ) = - i\bar{h}\frac{\partial }{\partial x} e^{i(kx-\omega t)}−ihˉ∂x∂ϕ(x,t)=−ihˉ∂x∂ei(kx−ωt)
再求这个式子关于xxx的偏导可得到：
−ihˉ(ik)ei(kx−ωt)=hˉkei(kx−ωt)=pϕ(x,t)-i\bar{h}(ik) e^{i(kx-\omega t)} = \bar{h}k e^{i(kx-\omega t)} = p\phi \left ( x,t \right )−ihˉ(ik)ei(kx−ωt)=hˉkei(kx−ωt)=pϕ(x,t)
妙啊！！ 结果正好等于前面替换的那个p=hˉkp= \bar{h}kp=hˉk,现在我们就可以得到：
p^∣ϕ>=pϕ∣>\widehat{p} |\phi >= p\phi |> p∣ϕ>=pϕ∣>
大家闲来无事的时候也可以计算一下时间变化率与哈密顿算符之间的关系式，和上面我们说的基本思路一样。。。。
到此为止，我们就从德布罗意关系出发、通过本征值关系式“证明”了动量算符的坐标表象的确是我们上次博客薛定谔方程中给出的微分算子形式。
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