引用自傅里叶系列（二）傅里叶变换的推导，在此基础上对一些细节重新整理了一下

1、先把傅里叶级数转为指数形式

三角函数形式：

f(t)=a02+∑n=1∞(ancos(nωt)+bnsin(nωt)))a0=2T∫t0t0+Tf(t)dtan=2T∫t0t0+Tf(t)cos(nωt)dtbn=2T∫t0t0+Tf(t)sin(nωt)dt(1)\begin{aligned} f(t) &= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n cos(n\omega t)+b_nsin(n \omega t)) \tag{1}) \\ a_0 & = \frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)dt \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)cos(n\omega t)dt \\ b_n &= \frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)sin(n\omega t)dt \\ \end{aligned}f(t)a0anbn=2a0+n=1∑∞(ancos(nωt)+bnsin(nωt)))=T2∫t0t0+Tf(t)dt=T2∫t0t0+Tf(t)cos(nωt)dt=T2∫t0t0+Tf(t)sin(nωt)dt(1)
上式中：
ω=2πT\omega=\frac{2\pi}{T} ω=T2π
式中，TTT为函数f(t)f(t)f(t)的周期，往往是趋向于+∞+\infty+∞的，因此ω\omegaω则趋向于0，因为这样的关系，当函数f(t)f(t)f(t)的周期越大时，傅里叶变换后的频率越密集。
欧拉公式：

eiθ=cos(θ)+isin(θ)e−iθ=cos(θ)−isin(θ)(2)\begin{aligned} e^{i\theta}=cos(\theta)+i sin(\theta) \\ e^{-i \theta}=cos(\theta)-i sin(\theta) \\ \tag{2} \end{aligned} eiθ=cos(θ)+isin(θ)e−iθ=cos(θ)−isin(θ)(2)
因此，可得
cos(θ)=eiθ+e−iθ2sin(θ)=−i⋅eiθ−e−iθ2(3)\begin{aligned} cos(\theta)&=\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \\ sin(\theta)&=-i\cdot\frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2} \tag{3} \end{aligned} cos(θ)sin(θ)=2eiθ+e−iθ=−i⋅2eiθ−e−iθ(3)
将sin(θ)sin(\theta)sin(θ) 、 cos(θ)cos(\theta)cos(θ) 代入傅里叶级数求得：
f(t)=a02+∑n=1∞[aneinωt+e−inωt2−i⋅bneinωt−e−inωt2]=a02+∑n=1∞[an−ibn2einωt+an+ibn2e−inωt](4)\begin{aligned} f(t)&=\frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty}[a_n \frac{e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}}{2}-i\cdot b_n \frac{e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}}{2}]\\ &=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega t}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-in\omega t}] \tag{4} \end{aligned} f(t)=2a0+n=1∑∞[an2einωt+e−inωt−i⋅bn2einωt−e−inωt]=2a0+n=1∑∞[2an−ibneinωt+2an+ibne−inωt](4)

将a0,an,bna_0,a_n,b_na0,an,bn代入公式4{4}4中，得到：
an−ibn2=1T[∫t0t0+Tf(t)cos(nωt)dt−i⋅∫t0t0+Tf(t)sin(nωt)dt]=1T∫t0t0+Tf(t)[cos(nωt)dt−i⋅sin(nωt)]dt=1T∫t0t0+Tf(t)[einωt+e−inωt2−i⋅(−i)einωt−e−inωt2]dt=1T∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt(5)\begin{aligned} \frac{a_n-ib_n}{2}&=\frac{1}{T}[\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)cos(n\omega t)dt-i\cdot\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)sin(n\omega t)dt] \\ &=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)[cos(n\omega t)dt-i\cdot sin(n\omega t)]dt \\ &=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)[\frac{e^{in\omega t} + e^{-in\omega t}}{2}-i\cdot (-i)\frac{e^{in\omega t} - e^{-in\omega t}}{2}]dt \\ &=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-in\omega t} dt \tag{5} \end{aligned} 2an−ibn=T1[∫t0t0+Tf(t)cos(nωt)dt−i⋅∫t0t0+Tf(t)sin(nωt)dt]=T1∫t0t0+Tf(t)[cos(nωt)dt−i⋅sin(nωt)]dt=T1∫t0t0+Tf(t)[2einωt+e−inωt−i⋅(−i)2einωt−e−inωt]dt=T1∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt(5)
同理：
an+ibn2=1T∫t0t0+Tf(t)einωtdt(6)\frac{a_n+ib_n}{2}=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{in\omega t} dt \tag{6} 2an+ibn=T1∫t0t0+Tf(t)einωtdt(6)

将(5)，（6）(5)，（6）(5)，（6）代入(4)(4)(4)中，得到：

f(t)=1T∫t0t0+Tf(t)dt+1T∑n=1∞[∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt⋅einωt+∫t0t0+Tf(t)einωtdt⋅e−inωt]=1T∫t0t0+Tf(t)dt+1T∑n=1∞∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt⋅einωt+∑n=−∞−11T∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt⋅einωt=1T∑n=−∞∞∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt⋅einωt\begin{aligned} f(t)&=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)dt +\frac{1}{T}\sum_{n=1}^{\infty}[\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-in\omega t} dt\cdot e^{in\omega t}+\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{in\omega t} dt\cdot e^{-in\omega t}] \\ &=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)dt +\frac{1}{T}\sum_{n=1}^{\infty}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-in\omega t} dt\cdot e^{in\omega t}+\sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-in\omega t} dt\cdot e^{in\omega t} \\ &=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-in\omega t} dt\cdot e^{in\omega t} \end{aligned} f(t)=T1∫t0t0+Tf(t)dt+T1n=1∑∞[∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt⋅einωt+∫t0t0+Tf(t)einωtdt⋅e−inωt]=T1∫t0t0+Tf(t)dt+T1n=1∑∞∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt⋅einωt+n=−∞∑−1T1∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt⋅einωt=T1n=−∞∑∞∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt⋅einωt
当n=0n=0n=0时：
1T∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt⋅einωt=1T∫t0t0+Tf(t)dt(7)\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-in\omega t} dt\cdot e^{in\omega t}=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)dt \tag{7} T1∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt⋅einωt=T1∫t0t0+Tf(t)dt(7)

接下来是与原文不同的推导

f(t)==1T∑n=−∞∞∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt⋅einωt(8)\begin{aligned} f(t)&= &=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-in\omega t} dt\cdot e^{in\omega t} \\ \tag{8} \end{aligned} f(t)==T1n=−∞∑∞∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt⋅einωt(8)
公式888中，令
Ω=nωF(Ω)=∫t0t0+Tf(t)e−iΩtdt\begin{aligned} \Omega&= n\omega\\ F(\Omega)&=\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-i\Omega t} dt \\ \end{aligned} ΩF(Ω)=nω=∫t0t0+Tf(t)e−iΩtdt
进一步对F(Ω)F(\Omega)F(Ω)进行分析：

F(Ω)=∫t0t0+Tf(t)e−iΩtdt=∫t0t0+Tf(t)e−iωntdt=∫t0t0+Tf(t)[cos(ωnt)−i⋅sin(ωnt)]dt=∫t0t0+Tf(t)cos(ωnt)dt−i⋅∫t0t0+Tf(t)sin(ωnt)dt=T2（an−i⋅bn）=2πω⋅12(an−i⋅bn)\begin{aligned} F(\Omega)&=\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-i\Omega t} dt \\ &=\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-i\omega nt} dt \\ &=\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)[cos(\omega nt)-i\cdot sin(\omega nt)] dt \\ &=\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)cos(\omega nt)dt-i\cdot \int_{t_0}^{t_0+T}f(t) sin(\omega nt) dt \\ &=\frac{T}{2}（ a_n-i\cdot b_n） \\ &=\frac{2\pi}{\omega}\cdot \frac{1}{2}( a_n-i\cdot b_n) \end{aligned} F(Ω)=∫t0t0+Tf(t)e−iΩtdt=∫t0t0+Tf(t)e−iωntdt=∫t0t0+Tf(t)[cos(ωnt)−i⋅sin(ωnt)]dt=∫t0t0+Tf(t)cos(ωnt)dt−i⋅∫t0t0+Tf(t)sin(ωnt)dt=2T（an−i⋅bn）=ω2π⋅21(an−i⋅bn)

由此可以看出，F(Ω)F(\Omega)F(Ω)的实部是余弦函数的的幅度值，虚部是正弦函数的幅度值。

公式888的说明，因为ω\omegaω很小，而，nnn是从−∞-\infty−∞取到+∞+\infty+∞，因此Ω∈[−∞,+∞]\Omega\in[-\infty,+\infty]Ω∈[−∞,+∞]。
则(8)(8)(8)变为：
f(t)=1T∑n=−∞∞∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt⋅einωt=1T∑n=−∞∞F(Ω)⋅eiΩt=1T∫−∞∞F(Ω)⋅eiΩtdn=1Tω∫−∞∞F(Ω)⋅eiΩtdωn=12π∫−∞∞F(Ω)⋅eiΩtdΩ(9)\begin{aligned} f(t)&=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-in\omega t} dt\cdot e^{in\omega t} \\ &=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\Omega)\cdot e^{i\Omega t} \\ &=\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty} F(\Omega)\cdot e^{i\Omega t}dn \\ &=\frac{1}{T\omega}\int_{-\infty}^{\infty} F(\Omega)\cdot e^{i\Omega t}d\omega n \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\Omega)\cdot e^{i\Omega t}d\Omega \\ \tag{9} \end{aligned} f(t)=T1n=−∞∑∞∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt⋅einωt=T1n=−∞∑∞F(Ω)⋅eiΩt=T1∫−∞∞F(Ω)⋅eiΩtdn=Tω1∫−∞∞F(Ω)⋅eiΩtdωn=2π1∫−∞∞F(Ω)⋅eiΩtdΩ(9)

由此，可得傅里叶变换的公式为：

f(t)=12π∫−∞∞F(Ω)⋅eiΩtdΩF(Ω)=∫t0t0+Tf(t)e−iΩtdt(10)\begin{aligned} f(t)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\Omega)\cdot e^{i\Omega t}d\Omega \\ F(\Omega)&=\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-i\Omega t} dt \\ \tag{10} \end{aligned} f(t)F(Ω)=2π1∫−∞∞F(Ω)⋅eiΩtdΩ=∫t0t0+Tf(t)e−iΩtdt(10)

2、再把傅里叶的指数形式推导到离散傅里叶的形式

此部分的参考为离散傅里叶变换

在傅里叶变换的过程中，函数f(t)f(t)f(t)往往是连续的并且周期T是无穷大的，但是自然界中，函数f(t)f(t)f(t)一般是离散的，因此需要将傅里叶变换进行离散化。
f(t)f(t)f(t)是离散的，并且个数是NNN，因此假设：
f(1)=A1f(2)=A2f(3)=A3f(4)=A4f(5)=A5⋮f(N)=AN\begin{aligned} f(1)&=A_ 1 \\ f(2)&=A_2 \\ f(3)&=A_3 \\ f(4)&=A_4 \\ f(5)&=A_5 \\ \vdots & \\ f(N)&=A_N \\ \end{aligned} f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)⋮f(N)=A1=A2=A3=A4=A5=AN
将公式101010进行离散化变形，得到
F(Ω)=∫t0t0+Tf(t)e−iΩtdtF(2πT⋅n)=∫t0t0+Tf(t)e−i2πntTdtG(n)=F(2πT⋅n)=∑t=1Nf(t)e−i2πntN(10)\begin{aligned} F(\Omega)&=\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-i\Omega t} dt \\ F(\frac{2\pi}{T}\cdot n )&=\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{\frac{-i2\pi nt}{T}} dt \\ G(n)&=F(\frac{2\pi}{T}\cdot n) \\ &= \sum_{t=1}^{N}f(t)e^{\frac{-i2\pi nt}{N}} \tag{10} \end{aligned} F(Ω)F(T2π⋅n)G(n)=∫t0t0+Tf(t)e−iΩtdt=∫t0t0+Tf(t)eT−i2πntdt=F(T2π⋅n)=t=1∑Nf(t)eN−i2πnt(10)
公式中的:
n<=NT=Nω=2πTΩ=2πT⋅n\begin{aligned} n&<= N\\ T&=N \\ \omega&=\frac{2\pi}{T} \\ \Omega&=\frac{2\pi}{T} \cdot n \\ \end{aligned} nTωΩ<=N=N=T2π=T2π⋅n

f(t)=12π∫−∞∞F(Ω)⋅eiΩtdΩ=12π∫−∞∞F(Ω)⋅ei2πT⋅ntd2πT⋅n=12π∫−∞∞F(2πnT)⋅ei2πN⋅ntd2πN⋅n=12π⋅2πN∫−∞∞G(n)⋅ei2πN⋅ntdn=1N∑n=1NG(n)⋅ei2πN⋅nt(10)\begin{aligned} f(t)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\Omega)\cdot e^{i\Omega t}d\Omega \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\Omega)\cdot e^{i \frac{2\pi}{T} \cdot n t}d\frac{2\pi}{T} \cdot n \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\frac{2\pi n}{T})\cdot e^{i \frac{2\pi}{N} \cdot n t}d\frac{2\pi}{N} \cdot n \\ &=\frac{1}{2\pi} \cdot \frac{2\pi}{N} \int_{-\infty}^{\infty} G(n)\cdot e^{i \frac{2\pi}{N} \cdot n t}d n \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} G(n)\cdot e^{i \frac{2\pi}{N} \cdot n t} \\ \tag{10} \end{aligned} f(t)=2π1∫−∞∞F(Ω)⋅eiΩtdΩ=2π1∫−∞∞F(Ω)⋅eiT2π⋅ntdT2π⋅n=2π1∫−∞∞F(T2πn)⋅eiN2π⋅ntdN2π⋅n=2π1⋅N2π∫−∞∞G(n)⋅eiN2π⋅ntdn=N1n=1∑NG(n)⋅eiN2π⋅nt(10)
傅里叶变换后，结果是复数，其含义为：
傅氏变换后得到的复数，实部就代表该频率下的余弦信号分量，虚部就代表该频率下的正弦信号分量。
参考一维傅里叶变换后的复数怎样理解？
另一篇关于离散傅立叶变换的博客讲的很好
深入理解离散傅里叶变换(DFT)
快速傅里叶变换（FFT）算法【详解】

傅立叶变换中，为什么要引入复数

另一篇博客，从另一个角度阐述了傅立叶变换中的复数的含义
李泽光–傅立叶变换的复数理解

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1、先把傅里叶级数转为指数形式

2、再把傅里叶的指数形式推导到离散傅里叶的形式

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