视觉SLAM总结-本质矩阵E分解

基础知识：

实反对称矩阵(real antisymmetric matrix)是一种反对称矩阵，指欧氏空间的反对称变换在标准正交基下的矩阵，即元素aij都是实数，并且aij=-aji(i，j=1，2，…)，n的n阶矩阵A=(aij)。

实反对称矩阵有如下性质：

性质1：奇数阶反对称矩阵的行列式值为0。

性质2：当A为n阶实反对称矩阵时，对于有XTAX =0，

性质3：实反对称矩阵的特征值是零或纯虚数。

性质4：若A为实反对称矩阵，A的特征值λ= bi(b≠0)所对应特征向量α+βi中实部与虚部对应的向量α、β相互正交 [2] 。

性质5：若A为n阶实反对称矩阵，则存在n阶正交矩阵Γ，使得

式中，±ibk(k=1，2，…，n)是A的全部非零特征值。k=1，2，…，r，A的秩r(A)=2r，矩阵(1)称为实反对称矩阵A在正交相似下的标准形。

本质矩阵基本性质

结论：一个3×3的矩阵是本质矩阵的充要条件是它的奇异值中有两个相等而第三个是0
证明：首先我们知道 E=[t]×R=SR

S是反对称矩阵，根据反对称矩阵的基本性质中， $S=kUZU^{T}$ ;其中Z

$Z=\begin{bmatrix} 0 & 1&0 \\ -1& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \end{bmatrix}$

在相差一个正负号的情况意义下，Z=diag(1,1,0)W，其中W

$W=\begin{bmatrix} 0 & -1&0 \\ 1& 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}$

那么
在相差一个常数意义下：

$S=UZU^{T}=Udiag(1,1,0)W U^{T}$
因此这个E矩阵可以分解为
$E=SR=Udiag(1,1,0)(WU^{T}R)$
这就证明 E拥有两个相等的奇异值

反过来的是矩阵有奇异值中有两个相等而第三个是0，可以分解为SR

结论2：设E的SVD分解为 $Udiag(1,1,0)V^{T}$ ,利用E=SR有如下两种分解（忽略正负号）：

$S=UZU^{T}$ $R=UWV^{T}$ or $R=UW^{T}V^{T}$

证明：

有ZX=diag(1,1,0)，因X是旋转矩阵：故推出所需要的 $X=W$ , $X=W^{T}$

由S=[t]×, 容易得St=0以及∥t∥=1对（两个摄像机矩阵的基线的一种常用归一化），因此 $t=U(0,0,1)^{T}=u3$ ,即矩阵U的最后一列，应为t的符号不确定，R矩阵有两种可能，因此其分解有如下四种情况,见结论3

结论3：对于给定本质矩阵 $E=Udiag(1,1,0)V^{T}$ ,和第一个摄像机矩阵P=[I|0],和第一个摄像机矩阵P'有下列四种选择

$P^{'}=[UWV^{T}| u3]$ ,
$P^{'}=[UWV^{T}| -u3]$
$P^{'}=[UW^{T}V^{T}| u3]$
$P^{'}=[UW^{T}V^{T}| -u3]$

示意图如下：

对四个作做了说明，其中证明了重构的点 X 同时在两个摄像机的前面的情形在四个可能解中仅为一个.这样一来只要用一个点作测试，验证它是否在两个摄像机前面，就足以从四个不同解中确定一个作为摄像机矩阵 p'

参考：

1.2.MVG（计算机多视几何）第二版

2.https://blog.csdn.net/weixin_44580210/article/details/90344511

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