现代密码学常用符号总结
本文将总结现代密码学 (Modern Cryptography) 中的常见数学符号, 了解以下预备知识可以极大增加本文的阅读体验:
- 离散数学, 线性代数与概率论三门课程中的主要数学记号及其含义 ?
- 现代密码学是一门什么样的学科 ?
- LaTeX\LaTeXLATEX的基本用法与常见数学符号命令有哪些 ?
在阅读密码学相关的论文时会遇到各类符号, 即使有的论文命名法和符号风格不同, 但在符号使用规律上基本都保持一致. 因此, 本文将持续性地总结记录现代密码学中的常见符号和表示法, 方便查阅参考, 并还会结合LaTeX\LaTeXLATEX相关命令给出示例和一些实用技巧.
符号风格
密码学中涉及符号的风格与使用规范遵循一般的数学公式表示规范, 而这些规定通常是约定俗成的. 具体而言有:
- 斜体表示: 如x,m,nx,m,nx,m,n, X,Y,ZX, Y, ZX,Y,Z等斜体形式通常用于表示变量 (variable), 如第iii个正整数是nnn; 如果遇到斜体加粗, 则一般表示的是某个随机变量或随机样本.
- 正体表示: 如X,Y\mathsf{X},\mathsf{Y}X,Y等正体形式通常用于表示矩阵或某种变换 (transform).
- 花体表示: E\mathcal{E}E, X\mathcal{X}X等花体形式通常表示集合概念, 因此有时会有 x∈Xx\in \mathcal{X}x∈X.
- 空心表示: R\mathbb{R}R, Q\mathbb{Q}Q等空心形式通常表示空间, 域等, 这些符号表示的范围通常是比花体和正体表示都要大的.
- LaTeX\LaTeXLATEX特殊字体: 在实际的论文写作中，某些特殊符号或者术语样式需要用到LaTeX\LaTeXLATEX中的各类字体样式命令，常见命令如
\textit,\textsf,\texttt,\mathsf等。 更多信息可以参阅刘海洋老师的《LaTeX入门》第二章.
在了解上述常见符号风格后, 即使在论文中遇到没见过而且作者似乎也没解释的记号, 也可以通过记号的书写风格来结合上下文推测这一记号的大致特点.
主要符号总结
下面我们将从三个方面总结现代密码学中的主要符号, 首先就是最基础也是最常见的各种运算符了.
运算符
二元运算符
| 名称 | 符号 | 含义 | LaTeX\LaTeXLATEX命令 | 使用情景 |
|---|---|---|---|---|
| 异或 | ⊕\oplus⊕ | 01串 (或两数) 之间的异或操作 |
\oplus
|
One Time Pad |
| 连接 | ∣∣||∣∣ | 顺序连接两个串 |
||
|
将两个串拼接后输入一个算法 |
| 组合作用 | ∘\circ∘ | 两个函数作用的"组合" |
\circ
|
密码理论分析, 白盒密码， 同态 |
| 代数运算 | ⋅\cdot⋅, +++ | (模) 乘, (模) 加 |
\cdot, +
|
代数运算, RSA等公钥密码算法 |
| 移位 | <<,>><<,>><<,>> | 将一个数的二进制向左或向右移动若干位 |
<<,>>
|
各类算法(如MD5, SM4)的底层运算 |
概率与取样
在现代密码学涉及的基础知识中, 概率论是很重要的一环. 在密码算法的可证明安全中, 概率论与随机过程的相关知识更是充当了核心角色. 因此,虽然有些符号并非运算符, 但为了方便也将在本处一并进行介绍.
| 名称 | 符号 | 含义 | LaTeX\LaTeXLATEX命令 | 使用情景 |
|---|---|---|---|---|
| 采样 | ←\leftarrow← | 从某一集合中采样出某个样本 |
\leftarrow
|
生成某一元素进行后续操作 |
| 随机采样 | ←$\stackrel{\$}{\leftarrow}←$ | 从某一集合中随机采样出某个样本 |
\stackrel{\$}{\leftarrow}
|
生成随机数 |
| 概率 | Pr\mathrm{Pr}Pr | 计算某一事件的概率 |
\mathrm{Pr}
|
衡量可证明安全中的各类事件发生的概率 |
| 集合 | {⋯}\left\{\cdots\right\}{⋯} | 离散数学中集合的概念 |
\left\{\cdots\right\}
|
各类密码算法与协议 |
| 概率分布 | ∼\sim∼ | 变量服从概率分布 |
\sim
|
基于格的算法与困难问题中的变量分布特征 |
| 可忽略概率 | ϵ\epsilonϵ | 在安全参数λ\lambdaλ的多项式级别下的极小量 |
\varepsilon
|
可证明安全的敌手优势说明 |
| 期望 | EEE | 计算某一随机变量或者分布的数学期望 |
E
|
基于格的算法证明中的相关计算 |
当然, 在数学中还有很多其他常见的二元运算符 (例如线性代数, 抽象代数中的一大堆记号), 此处我们只介绍密码学中常用的符号及其在密码学中的用途. 如其他需要补充说明, 欢迎分享你的建议 !
常用记号
除了常用的运算符外, 在阅读各类密码学的论文时, 最令人头疼的想必是各类繁杂的数学记号了. 但好在各个记号在不同论文中的写法基本都是统一的, 只是花样众多, 令人眼烦, 我们通常只需要在第一次遇见的时候记住就可以了.
算法记号
对称密码算法
| 名称 | 符号 | 含义 | LaTeX\LaTeXLATEX命令 | 使用情景 |
|---|---|---|---|---|
| 密钥 | KKK | 对称密码算法的密钥 |
K
|
对称密码算法中双方共享一密钥 |
| 密钥生成 | Gen(1λ)\mathrm{Gen}(1^{\lambda})Gen(1λ) | 根据安全参数λ\lambdaλ生成算法密钥 |
\mathrm{Gen}(1^{\lambda})
|
许多对称密码算法的第一步 |
| 加密 | Enc\mathsf{Enc}Enc | 将明文加密为密文 |
\mathsf{Enc}
|
对称加密算法的主要步骤 |
| 解密 | Dec\mathsf{Dec}Dec | 将密文解密为明文 |
\mathsf{Dec}
|
对称加密算法的主要步骤 |
| 消息认证码生成 | Mac\mathsf{Mac}Mac | 根据对称密钥生成某条消息对应的消息认证码 |
\mathsf{Mac}
|
HMAC等MAC算法 |
| 消息认证码验证 | Vrfy\mathsf{Vrfy}Vrfy | 根据对称密钥验证某个消息认证码是否正确 |
\mathsf{Vrfy}
|
HMAC等MAC算法 |
公钥密码算法
| 名称 | 符号 | 含义 | LaTeX\LaTeXLATEX命令 | 使用情景 |
|---|---|---|---|---|
| 公钥 | Pk\mathsf{Pk}Pk | 可公开的密钥 |
\mathsf{Pk}
|
公钥算法, PKI等 |
| 私钥 | Sk\mathsf{Sk}Sk | 与公钥对应的需要秘密保存的私钥 |
\mathsf{Sk}
|
公钥算法 |
| 密钥生成 | Gen(1λ)\mathsf{Gen}(1^{\lambda})Gen(1λ) | 根据安全参数λ\lambdaλ生成一对公私钥 |
\mathsf{Gen}(1^{\lambda})
|
公钥算法 |
| 公钥加密 | Enc(Pk,⋅)\mathsf{Enc}(\mathsf{Pk}, \cdot)Enc(Pk,⋅) | 计算某一事件的概率 |
\mathrm{Pr}
|
加密只有私钥拥有方才能解密的信息 |
| 私钥解密 | Dec(Sk,⋅)\mathsf{Dec}(\mathsf{Sk}, \cdot)Dec(Sk,⋅) | 离散数学中集合的概念 |
\left\{\cdots\right\}
|
略 |
| 私钥签名 | Sign(Sk,⋅)\mathsf{Sign}(\mathsf{Sk}, \cdot)Sign(Sk,⋅) | 在安全参数λ\lambdaλ的多项式级别下的极小量 |
\varepsilon
|
可证明安全的敌手优势说明 |
| 公钥验签 | Vrfy(Pk,⋅)\mathsf{Vrfy}(\mathsf{Pk}, \cdot)Vrfy(Pk,⋅) | 在安全参数λ\lambdaλ的多项式级别下的极小量 |
\varepsilon
|
略 |
| 采样函数 | Samp\mathsf{Samp}Samp | 均匀选取集合中的元素 |
\mathsf{Samp}
|
单向置换 |
| 逆置换 | Inv\mathsf{Inv}Inv | 拥有陷门信息后的高效逆置换算法 |
\mathsf{Inv}
|
基于陷门置换的公钥加密 |
值得一提的是, 公钥算法发展至今有很多种类, 也有很多高阶方案, 如门限加密, 秘密共享, 同态加密, 可搜索加密和函数加密等等. 不同的高阶方案也衍生出了各自的算法符号范式, 诸如Trap\mathsf{Trap}Trap, Index\mathsf{Index}Index等等. 由于这些零散记号和方案本身的特点紧密相关, 并非是公钥方案的共性操作. 故此处就不作进一步介绍.
密码学哈希
| 名称 | 符号 | 含义 | LaTeX\LaTeXLATEX命令 | 使用情景 |
|---|---|---|---|---|
| 计算哈希摘要 | HHH | 从某一集合中采样出某个样本 |
\leftarrow
|
生成某一元素进行后续操作 |
| 带密钥的哈希 | H(K,⋅)H(K, \cdot)H(K,⋅), HK(⋅)H_{K}(\cdot)HK(⋅) | 从某一集合中随机采样出某个样本 |
H(K, \cdot), H_{K}(\cdot)
|
HMAC |
模糊提取器
| 名称 | 符号 | 含义 | LaTeX\LaTeXLATEX命令 |
|---|---|---|---|
| 初始化 | init(1λ)\mathsf{init}(1^{\lambda})init(1λ) | 生成公开模糊提取器的公开参数pp\mathsf{pp}pp |
\mathsf{init}(1^{\lambda})
|
| 生成字符串 | Gen(pp,w;r)\mathsf{Gen}(\mathsf{pp,w;r})Gen(pp,w;r) | 根据pp\mathsf{pp}pp,元素w\mathsf{w}w与随机性r\mathsf{r}r生成字符串RRR与公开的帮助字符串PPP |
\mathsf{Gen}(\mathsf{pp,w;r})
|
| 提取字符串 | Rep(pp,w′;P)\mathsf{Rep}(\mathsf{pp,w\prime;}P)Rep(pp,w′;P) | 根据pp\mathsf{pp}pp,相近元素w′\mathsf{w\prime}w′与帮助字符串PPP还原字符串RRR |
\mathsf{Rep}(\mathsf{pp,w\prime;}P)
|
哈希证明系统
一般的哈希证明系统通常是一个非交互的零知识系统, 此处主要指的是Smooth Projective Hash Proof System (SPHFs)
| 名称 | 符号 | 含义 | LaTeX\LaTeXLATEX命令 |
|---|---|---|---|
| 生成哈希密钥 | HashKG(pp)\mathsf{HashKG}(\mathsf{pp})HashKG(pp) | 根据语言系统的参数pp\mathsf{pp}pp生成哈希密钥hkhkhk |
\mathsf{HashKG}(\mathsf{pp})
|
| 派生投影密钥 | ProjKG(hk,pp,x)\mathsf{ProjKG}(hk,\mathsf{pp},x)ProjKG(hk,pp,x) | 根据语言xxx, pp\mathsf{pp}pp与哈希密钥hkhkhk派生出投影密钥hphphp |
\mathsf{ProjKG}(hk,\mathsf{pp},x)
|
| 计算哈希 | Hash(hk,pp,x)\mathsf{Hash}(hk,\mathsf{pp},x)Hash(hk,pp,x) | 根据语言xxx, pp\mathsf{pp}pp与哈希密钥hkhkhk计算哈希值HHH |
\mathsf{Hash}(hk,\mathsf{pp},x)
|
| 计算投影哈希 | ProjHash(hp,pp,x,w)\mathsf{ProjHash}(hp,\mathsf{pp},x,w)ProjHash(hp,pp,x,w) | 根据语言xxx, pp\mathsf{pp}pp与派生密钥hphphp和一个证据www计算出投影哈希值pHpHpH |
\mathsf{ProjHash}(hp,\mathsf{pp},x,w)
|
可证明安全记号
| 名称 | 符号 | 含义 | LaTeX\LaTeXLATEX命令 | 使用情景 |
|---|---|---|---|---|
| 敌手 | A\mathcal{A}A | 可证明安全中试图解决攻破方案的假想攻击者 |
\mathcal{A}
|
A\mathcal{A}A 尝试攻破加密算法的不可区分性 |
| 挑战者 | C\mathcal{C}C | 可证明安全中试图解决困难问题的挑战者 |
\mathcal{C}
|
C\mathcal{C}C 尝试解决大整数分解问题 |
| Oracle | O\mathcal{O}O | 经抽象后的证明过程中可被查询的预言机 |
\mathcal{O}
|
算法的加解密部分被抽象为了O\mathcal{O}O供A\mathcal{A}A或C\mathcal{C}C提交明密文查询 |
| 标志 | bad\mathsf{bad}bad | 用来指示证明过程中某些事件的发生 |
\mathsf{bad}
|
当加密得到的密文产生了碰撞时, 是一个bad\mathsf{bad}bad事件 |
| 证明游戏 | Game\mathsf{Game}Game | 为安全性证明定义的挑战者与敌手的交互模型 |
\mathsf{Game}
|
定义A\mathcal{A}A与O\mathcal{O}O的若干次选择明文查询是一个Game\mathsf{Game}Game |
其他常用符号
在密码算法中还有一些常用的符号, 如对字符串数据的一些操作. 如有其他常用符号也欢迎大家补充.
| 名称 | 符号 | 含义 | LaTeX\LaTeXLATEX命令 | 使用情景 |
|---|---|---|---|---|
| 字符串长度 | ∣s∣|s|∣s∣ | 得到字符串sss的长度 |
\left|s\right|
|
密码算法输入 |
| 全0字符串 | 0n0^{n}0n | nnn-bit 长的全0字符串 |
0^{n}
|
略 |
| 全1字符串 | 1n1^{n}1n | nnn-bit 长的全1字符串 |
1^{n}
|
略 |
| 字符串分块 | ∣∣s∣∣l||s||_{l}∣∣s∣∣l | 将字符串sss分为lll块, 每块长度为⌈∣s∣l⌉\lceil \frac{|s|}{l} \rceil⌈l∣s∣⌉ bit |
||s||_{l}
|
对分组算法中的每一块进行加解密 |
量子密码算法符号
在量子密码算法中会涉及很多量子力学的操作与符号, 而这些符号其实都遵循着狄拉克记号法, 也就是所谓的Bra-ket notation. 不过在我们第一次遇到量子密码算法时, 看到这些符号依然会头大, 下面初步总结了一些常用记号方便检索.
注意, 量子密码算法都是在一个或若干个希尔伯特空间 (H\mathcal{H}H) 中的, 此时算法的状态会被抽象为一个H\mathcal{H}H中的状态矢量ψ\psiψ, 因此这部分的操作与符号有些和线性代数也是通用的.
| 名称 | 符号 | 含义 | LaTeX\LaTeXLATEX命令 |
|---|---|---|---|
| 右矢 | ∣ψ⟩|\psi \rangle∣ψ⟩ | 可理解为线性空间中的某个向量 |
| \psi \rangle
|
| 左矢 | ⟨ψ∣\langle \psi |⟨ψ∣ | 某个右矢对应的共轭矢量 |
\langle \psi |
|
| 矢量间的内积 | ⟨a∣b⟩\langle a | b \rangle⟨a∣b⟩ | 两矢量间进行内积运算 |
\langle a | b \rangle
|
| 矢量间的外积 | ∣a⟩⟨b∣|a\rangle \langle b |∣a⟩⟨b∣ | 两矢量间进行外积运算 |
|a\rangle \langle b |
|
| 张量积 | ⊗\otimes⊗ | 希尔伯特空间的张量积, 如H1⊗H2\mathcal{H_{1}}\otimes \mathcal{H_{2}}H1⊗H2形成一个组合系统 |
\otimes
|
| 共轭转置 | U†U^{\dag}U† | 矩阵的共轭转置, 被用来描述H\mathcal{H}H上的幺正变换 |
U^{\dag}
|
| 概率坍缩 | ∣⟨a∣ψ⟩∣2|\langle a | \psi \rangle|^{2}∣⟨a∣ψ⟩∣2 | 经过某一量子系统变换后, 从叠加态ψ\psiψ观测到状态aaa的概率 |
|\langle a | \psi \rangle|^{2}
|
| 状态叠加 | ∑∣ai⟩\sum |a_{i}\rangle∑∣ai⟩ | 将若干个状态∣ai⟩|a_{i}\rangle∣ai⟩进行叠加得到叠加态 |
\sum |a_{i}\rangle
|
| 量子Oracle变换 | O∣x⟩\mathbf{O}|x\rangleO∣x⟩ | 在量子Oracle中对矢量∣x⟩|x\rangle∣x⟩进行变换得到∣x+O(x)⟩|x+O(x)\rangle∣x+O(x)⟩ |
\mathbf{O}|x\rangle
|
由于我对量子力学的相关概念也不是非常熟悉, 上述记号如有错误欢迎大家指出, 也欢迎大家补充其他常见的量子密码方案记号.
LaTeX宏包 cryptocode 的使用
cryptocode是一个专门为了密码学研究者提供的LaTeX\LaTeXLATEX宏包, 而且这一宏包已经默认加入了texlive2022中, 使用时无需额外安装, 只需要\usepackage[your_options]{cryptocode}就能引入. 而且这个宏包的文档非常全面, 基本可以做到即查即用. 这里就拾人牙慧, 简单介绍几个最常用的命令.
常用符号
上文提到的很多运算符号, 其实已经都在cryptocode中封装好了, 尤其是一些呈现方式简单, 但LaTeX\LaTeXLATEX命令复杂的运算, 可以用cryptocode提供的更容易记忆和使用的短命令.
| 名称 | cryptocode命令 | 等价LaTeX\LaTeXLATEX命令 |
|---|---|---|
| 随机采样 |
\sample
|
\leftarrow
|
| 标志 |
\bad
|
\mathsf{bad}
|
| 0-1集合 |
\bin
|
\left\{0, 1\right\}
|
| 概率 |
\prob
|
\mathsf{Pr}
|
| 敌手优势 |
\advantage
|
\mathsf{Adv}
|
| 密钥生成 |
\kgen
|
\mathsf{KGen}
|
上述这些符号只是cryptocode封装的很小一部分, 官方说明文档中会有更多描述.
算法
在密码学论文中, 除了那些常见符号外, 还会需要用LaTeX\LaTeXLATEX的algorithm环境呈现算法方案. 而在cryptocode中则可以直接用procedureblock, 效果如下图所示.
而对应的LaTeX\LaTeXLATEX代码也更为简洁, 无需像原来algorithm包那样写过多不必要的关键字.
\procedureblock {$\indcpa_\enc^\adv(\secpar)$}{
b \sample \ bin \\
(\pk, \sk) \sample \kgen(\secparam) \\
(m_0, m_1) \sample \adv(\secparam ,\pk, c)\\
c \sample \enc(\pk ,m_b)\\
b' \sample \adv(\secparam, \pk, c)\\
\pcreturn b = b’
}
Game-based 安全证明
一篇理论密码方案论文的核心就是它的安全性证明了, 而在写一些game-based proof 时, 我们常常需要借助 bad\mathsf{bad}bad 等符号标注出一个game里有利于敌手的那些事件. 要表达这样一件事, 一般需借助table环境以及一些文本样式命令. 然而, cryptocode也提供了这方面的封装, 如下图所示.
此外, 除了最基本的这种game-based proof外, 它还提供了game hopping, reduction等的命令封装, 这能极大地减少密码学研究者在撰写论文时的麻烦.
密码协议
在密码学中还有很多协议（Protocol）相关的工作，而对于我个人而言，通过drawio等工具画协议图还是有些繁琐了，而且如果数学公式较多的话在校对和排版上都存在着不少缺陷; 而原生tikz的作图效果很漂亮，但学习和使用成本太高。
而在cryptocode中，可以同样使用procedureblock命令与缩进指令 (tabbing) \>方便地通呈现一个密码协议，如下图所示。
总结
本文总结了传统密码学与量子密码方案中的常见记号与对应的LaTeX\LaTeXLATEX代码, 以缓解记忆密码学论文中繁琐符号含义所带来的烦躁心情
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