bzoj 4815: [Cqoi2017]小Q的表格

传送门：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4818
思路：
看到这道题我就想到当年noip模拟赛T1 是一个伪装的”很好”的辗转相除而我做了半天的悲惨经历。。感动的落泪。
首先注意到那个规则就是辗转相除，不过不是标准形式，化成标准形式后多迭代几次很容易发现性质：
f(a,b)=a∗bgcd(a,b)2∗f(gcd(a,b),gcd(a,b))f(a,b) = \frac{a * b}{gcd(a,b)^2} * f(gcd(a,b),gcd(a,b))
这个通过归纳法也很容易证明
这样ans = ∑ki=1∑kj=1f(i,j)\sum_{i = 1}^{k}\sum_{j = 1}^{k}f(i,j)
化简这个式子，注意到一个经典问题：
∑ni=1[(i,n)=1]i=n∗(φ+e)2\sum_{i=1}^{n}[(i,n) = 1]i = \frac{n * (\varphi + e) }{2}
利用这个我们的式子变成了：
∑ni=1f(i,i)∗g(⌊ni⌋)\sum_{i=1}^{n}f(i,i) * g(\lfloor\frac{n}{i} \rfloor)
其中g(n)=∑ni=1i∗i∗ϕ(i)g(n) = \sum_{i=1}^{n}i * i * \phi(i)
可以做到线性预处理gg
那么暴力维护修改的话就是套一个bit,明显T飞了。。。
到这里就非常像我bzoj 3529的做法了，一道披着数论外衣的数据结构狼？
注意到修改和查询是不均衡的，用序列分块就可以解决了，
这样就能做到O(1)O(1)查询，O(n√)修改O(\sqrt{n})修改，总的复杂度:O(m∗n√)O(m * \sqrt{n})
另外按bzoj 3529那个题的做法我们也可以用定期重构的分块解决这个问题，这不过这里因为nn很大的原因，重构次数不能太多，我估计在5次左右就可以了。。。应该也是可以通过的吧。
感觉自己基础差的要死。。。一开始连φ\varphi都筛错了半天没看出来，难怪滚粗呢QAQ

代码（分块）：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 4000002
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n,m,phi[N],g[N],now[N];
const LL P = 1000000007LL;inline void in(LL &x){char c;while (!isdigit(c = getchar()));x = (c ^ 48);while (isdigit(c = getchar())) x = 10 * x + (c ^ 48);}inline LL gcd(LL a,LL b){return (!b) ? (a) : gcd(b,a % b);}inline void inc(LL &x,LL y){x += y;if (x >= P) x -= P;}int cnt,prime[N];bool not_prime[N];inline void Sieve(){memset(not_prime,0,sizeof(not_prime));cnt = 0; phi[1] = 1;for (int i = 2;i <= n; ++i){if (!not_prime[i]) {prime[++cnt] = i;phi[i] = i - 1;}for (int j = 1;j <= cnt; ++j)if (prime[j] * i > n) break;else{not_prime[prime[j] * i] = 1;if (i % prime[j]) phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);else{phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];break;}}}g[0] = 0;for (int i = 1;i <= n; ++i)g[i] = (g[i - 1] + 1LL * i * i % P * phi[i] % P) % P;}LL S[N];int num,belong[N],lb[N],rb[N],B;inline void Divide(){B = (int)(sqrt(n)) ;for (int i = 1;i <= n; ++i)belong[i] = (i - 1) / B + 1;belong[0] = belong[n + 1] = -1;for (int i = 1;i <= n; ++i){if (belong[i] != belong[i - 1]) lb[belong[i]] = i;if (belong[i] != belong[i + 1]) rb[belong[i]] = i;}num = belong[n];for (int i = 1;i <= num; ++i){int le = lb[i],re = rb[i];S[le] = now[le] % P;for (int j = le + 1;j <= re; ++j)S[j] = (S[j - 1] + now[j]) % P;}}inline void Pre(){for (int i = 1;i <= n; ++i) now[i] = 1LL * i * i;Sieve();Divide();}inline void init()
{in(m); in(n);Pre();
}inline void change(LL a,LL b,LL x,LL k){LL last,GCD = gcd(a,b),delta;last = now[GCD];now[GCD] = x / (a * b / (GCD * GCD));delta = (now[GCD] - last) % P;if (delta < 0) delta += P;int re = rb[belong[GCD]];for (int i = GCD;i <= re; ++i) inc(S[i],delta);}LL ans;inline LL GET(LL l,LL r){int ll = belong[l],rr = belong[r];LL Sum = 0;if (ll == rr){ if (l == lb[ll]) inc(Sum,S[r]);else inc(Sum,(S[r] - S[l - 1] + P) % P);return Sum;}Sum = S[r];if (l == lb[ll]) inc(Sum,S[rb[ll]]);else inc(Sum,(S[rb[ll]] - S[l - 1] + P) % P);for (int i = ll + 1;i < rr; ++i)inc(Sum,S[rb[i]]);return Sum; }inline void Query(LL a,LL b,LL x,LL k){ans = 0;for (int i = 1,j;i <= k;i = j + 1){j = k / (k / i);inc(ans,g[k / i] * GET(i,j) % P);}printf("%lld\n",ans);}LL a,b,x,k;
inline void DO_IT()
{for (int i = 1;i <= m; ++i){in(a); in(b); in(x); in(k);change(a,b,x,k);Query(a,b,x,k);}
}int main()
{init();DO_IT();return 0;
}

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