CRC循环冗余校验引起的二进制除法如何计算风暴

2024-05-30 16:08:18

文章目录

知道两个概念
- 模2和
- 模2减
两种不同的二进制除法
- 除法
- 模2除法
CRC 循环冗余校验
- 编码过程
- 差错检测能力

谈CRC循环冗余校验的之前，先把二进制除法说一下，先回忆一下十进制之间的除法是如何运算的，

这个式子在做除法的时候满足了这几个条件：

从被除数的最左边开始向右做除法
被除数运算的两位永远比除数大
如果相减的时候需要向前一位借1，则前一位要减1

知道两个概念

模2和

两个二进制位相加不进位，即 0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=0（此时不进位）

模2减

两个二进制位相减不借位，即0-0=0，0-1=1（此时不进位），1-0=1，1-1=0

两种不同的二进制除法

除法

这个方法和正常的十进制除法没什么区别，就和刚开始回顾的二进制除法运算方法一样，在下面的例子中，被除数前四位1010除以111要考虑向前一位借1，其实把这些二进制转换成十进制的除法就是83/7=11…6，而这个二进制的运算结果完全吻合。

模2除法

模2除法就要用到之前说的两个概念之中的1个，就是模2减，除数和被除数相减的时候不考虑进位（可以看作做异或运算），这就引出了CRC（Cyclic Redundancy Check）循环冗余校验，用来检测或校验数据传输或者保存后可能出现的错误，本次主要讲解在计算机网络信息传输中的校验，计算机组成原理的信息保存校验原理和网络信息校验一样，不做深入讲解。在相减的时候每一次都是3位之间相减。你可能会问，为什么有时结果是1，有时结果是0呢，主要是被除数百位和除数百位相减可以抵消，不然相减结果还是3位就没有意义了。

CRC 循环冗余校验

编码过程

计算机传输数据的时候要最底层是物理层，向上有数据链路，网络层等等。当然数据要从计算机输出，是自上向下传输，比如从网络层得到一个IP数据报，封装成数据帧。在发送端把数据划分成组，假设每一组k位，数据M=101001，那么k=6,在M后面添加n位的二进制数值（冗余码）用来差错检验。添加冗余码的时候被除数和除数之间进行的是模2除法。

接下来确定除数，除数采用二进制系数多项式，如下表

名称	多项式	对应除数
CRC-8	x⁸+x²+x+1	1000 0011 1
CRC-16	x¹²+x¹¹+x³+x²+x+1	1100 0000 01111
…	…	…

x⁸+x²+x+1表示二进制第8,2,1,0位为1，黄色的就是0位，其它多项式同理

接下来继续M数据的处理，设除数P=1101，则n=3,为什么冗余码的长度是3呢？

因为余数比除数少1，余数是被用来做校验用的。被除数是2ⁿM=101001000。

为什么后面多出来n个0呢？这和后面的检验有关由于拿到的是（k+n）的数据要对数据做模2运算最后判断余数，只有被除数处于（除数+除数的余数）才会等于0，所以0的个数和余数的个数一样。

根据上面模2除法运算结果是商为110100，余数为001，把101010改为101001001，这就是一个完整的可校验数据。

下表是本题的各个数据的含义

符号	含义	值
M	一组数据	101001
n	冗余码的位数	3
k	每组数据的位数	6
P	除数	1101
2ⁿM	被除数	101001000
Q	商	110101
R	（余数）冗余码	001
2ⁿM+R	发送的数据	101001001

差错检测能力

利用多项式，我们定义误码多项式E(X)是接收到的消息码字与正确码字的异或。即

E(X) = Trecv(X) XOR Tcorrect(X) …… (14)

当E(X)能够被CRC多项式P(X)整除的时候（即R=0）CRC算法无法检查到错误。当我们选择一个适当的P(X)时，E(X)都不能被P(X)整除，因此可以检测出的出错情况有：

单比特差错，只要P(X)含有一个以上的非零项。
双比特差错，只要P(X)满足上述两种形式((12)(13)式)。
任意奇数个比特差错，只要P(X)含有因式(X - 1)。
任意突发差错，当突发差错长度小于或等于帧检验序列(F(X))的长度(n - k)。
长度为(n - k + 1)的突发差错片段，这个片段等于(1-2-(n-k-1))。
长度大于(n - k + 1)的突发差错片段，这个片段等于(1 - 2-(n-k))。

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