说明：加粗为矩阵或者向量

常数项

m*a = (G*M*m) / r^2; 可知a = (G*M) / r^2;

a = -(G*M*r) / r^3 (负号代表加速度a指向地心)

G(引力常数) = 6.67259*e^-11( m^3*kg^-1*s^-2)

GM = 398600.4405 ($km^3$*$s^-2$)

六个轨道根数：a(半长轴), e(扁率), M(虚拟的平近点角), i(轨道倾角), Omaga(升交点赤经), ebuxiu(近地点辐角)

A称为Runge-Lenz矢量或者Laplace矢量

真近点角v是A和位置矢量r的夹角

半通径p=h^2/GM=a*(1-e^2)

平面运动

r×dr = h (const)

h:单位质量角动量或者特殊角动量

l: 角动量

l = m*h (m 卫星质量)

dA = 0.5*| r×dr*dt| = 0.5*|h|*dt (dA:卫星向径扫过的面积, dt:时间间隔)（h是常量, 面积相同）

h: 面积速度

轨道形状

h×dr = -GM*(r / r) - A ( -A 为积分出来的常数，由初始位置和速度决定。成为Laplace矢量或者Runge-Lenz矢量， h×dr与r / r垂直于角动量)

(h×dr)*r = -GM*(r / r)*r - A*r

r = p / (1 + e*cos(v)) (将卫星距离r 与卫星矢量于参考方向A夹角v联系在一起), 其中p = h^2 / GM; e = A / GM

真近角点v作为A和r夹角

r_min = p / (1+e)

r_max = p/ (1 -e) (0<=e <1) 或者 r_max = inf (e>=1)

a(半长轴) = 0.5*(r_min + r_max) = p / (1-e^2)

能量积分

v^2 = GM*( 2 / r - 1 / a ) (活力公式, 能量积分, 表示轨道上任一点的动能与势能之和为常数. v 是相对速度)

当r=a时候 v_circ = sqrt(GM / a)

T_circ = 2*pi / v_circ = 2*pi * sqrt(a^3 / GM)

开普勒方程

x = r*cos(v) = a*(cos(E) - e)

y = r*sin(v) = a*sqrt(1-e^2)*sin(E)

x,y 表示卫星在轨道平面上相对于地心位置

E: 偏近角点

h: 面积速度

h = a^2 * sqrt(1-e^2)*dE* (1 - e*cos(E))

h = sqrt( GM*a*(1 - e^2) )

由以上两个公式可知：(1 - e*cos(E))*dE = n （式1）

引入平均角速度n = sqrt( GM / a^3) 从时间tp为近地点, 此时E = 0

对式1积分可知：E(t) - e*sin(E(t)) = n*(t - tp) （式2）

引入M = n*(t - tp) 称为平近点角，一圈内变化360度

引入参考历元t0处值代替tp，任意时刻平近点角：

M = M0 + n*(t - t0)

T = 2*pi / n = 2*pi * sqrt(a^3 / GM)

T^2 / a^3 = 4*pi^2 / GM

开普勒方程求解

f(E) = E - e*sin(E) - M

E(i+1) = E(i) - f(E(i)) / diff(f(E(i))); 牛顿法求解

E(0)=M (小偏心率0<e<0.8); E(0) = pi (大偏心率0.8<e<1);

空间轨道

指向近地点矢量P = A/|A|; 与P垂直的矢量Q(相应的真近点角v=90度)

W = h / h; 由(P, Q, W)卫星轨道坐标系

h = r×dr = (y*dz - z*dy; z*dx - x*dz; x*dy - y*dx)

勒让德多项式

P1(X) = 1; P2(x) = x;

(n+1)Pn+1(x) = (2n+1)x*Pn(x) - n*Pn-1(x)

地球磁场指数

F10.7: 太阳分米辐射流与太阳极紫外辐射有关，因此引入10.7cm辐射指数F10.7，表示太阳紫外线效应。

Kp: 3h地球磁场指数，描述地球磁场3h的变化。由地球维度48~63的12个观测站K指数获得，数值范围在[0, 9]整数。

ap: 3h行星振幅指数。

星固系转换到地固系或者惯性系

星固系：(R, T, N)（r,a,c）

地固系：（x,y,z）

径向：Radial

切向：Tangential direction

法向：Normal orientation

求出地固系(惯性系)下：ex,ey,ez

(x,y,z) = ex*R+ey*T+ez*N

(x,y,z) = R*ex+T*ey+N*ez

保守力和非保守力

保守力：地球中心引力，地球非球形引力，日月及N体引力，地球固体潮汐，海洋潮汐，广义相对论摄动。

（只与卫星位置有关系，与速度，表面特性无关；能够精确求出）

非保守力：大气阻力，光压模型，地球反照光压。

（不只与卫星位置有关系，还与速度，表面特性无关；很难数学模型描述，因此引入经验力模型）

a_srp = F(sat_pos, sun_pos, sat_area, sat_Cr);

a_ad = F(sat_pos, sat_vel, sat_area, sat_Cd);

Const = sat_area,**sat_Cr

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