题目复盘

写这个系列也是为了逼着自己做总结

中规中矩，泰勒写开就行
分段函数写明白就能选出正确的
这题答案有点麻烦了，其实画图就能看明白，我在做这个题目的时候也做麻烦了，看到二阶导数就用思维定式想到二阶泰勒公式，展到二阶的拉格朗日余项版本的泰勒公式也能把这个题做出来，就是繁琐，做题时间太长
按题意画个图就排除了
答案那个直接算，我是先定参数aaa，瑕点只有无穷远，先进行整理得I=∫0+∞(1x2+4−ax+2)dx=∫0+∞x+2−ax2+4(x+2)x2+4dxI=\int_{0}^{+\infty } \left ( \frac{1}{\sqrt{x^{2}+4 } }-\frac{a}{x+2} \right )dx =\int_{0}^{+\infty}\frac{x+2-a\sqrt{x^{2}+4 }}{(x+2)\sqrt{x^{2}+4 }}dxI=∫0+∞(x2+41−x+2a)dx=∫0+∞(x+2)x2+4x+2−ax2+4dx
当xxx趋近于正无穷时，III等价于P积分：∫c+∞(1−a)xx2dx\int_{c}^{+\infty } \frac{(1-a)x}{x^{2} } dx∫c+∞x2(1−a)xdx，为了保证其收敛，只能让a=1a=1a=1（此时p=2>1p=2>1p=2>1，收敛），如果aaa为非1常数，那么这个P积分就发散了，确定a=1a=1a=1后正常计算即可得出答案。
第五题直接根据题给条件写出函数表达式为f(x)=1x21+1x2=1x2×x21+x2=11+x2f(x)=\frac{\frac{1}{x^{2} } }{1+\frac{1}{x^{2} }} =\frac{1}{x^{2} }\times \frac{x^{2}}{1+x^{2}} =\frac{1}{1+x^{2}}f(x)=1+x21x21=x21×1+x2x2=1+x21，然后根据无穷等比递降数列求和公式按幂级数展开得f(x)=1+(−x2)×1+(−x2)2×1+......=1−x2+x4+.....f(x)=1+(-x^{2})\times1+(-x^{2})^{2}\times1+......=1-x^{2}+x^{4}+.....f(x)=1+(−x2)×1+(−x2)2×1+......=1−x2+x4+.....，题目要求展到二次，故答案为1−x21-x^{2}1−x2（可以参考：王谱老师的“一减疯猴”法），即可得到答案。
按导数定义求在（0,1）点的f(x)f(x)f(x)的关于xxx和yyy的偏导数，需要注意的一点是f(0,1)=0f(0,1)=0f(0,1)=0且f(0,y)=0f(0,y)=0f(0,y)=0（都是真正的0，不是无穷小），故(0,1)(0,1)(0,1)点对y的偏导数的极限形式fy′(0,1)=lim⁡y→0f(0,y)−f(0,1)y−0=lim⁡y→00−0y=0f_{y}^{'} (0,1)=\lim_{y \to 0}\limits \frac{f(0,y)-f(0,1)}{y-0} =\lim_{y \to 0}\limits \frac{0-0}{y}=0fy′(0,1)=y→0limy−0f(0,y)−f(0,1)=y→0limy0−0=0是存在的，如法炮制fx′(0,1)=1f_{x}^{'} (0,1)=1fx′(0,1)=1，故dz=1×dx+0×dy=dxdz=1\times dx+0\times dy=dxdz=1×dx+0×dy=dx
这是一个二阶可降阶的微分方程，可令y′=Py_{'}=Py′=P，则y′′=PdPdyy_{''}=P\frac{dP}{dy}y′′=PdydP，得P2−yPdPdy=P(P−ydPdy)P^{2}-yP\frac{dP}{dy}=P(P-y\frac{dP}{dy})P2−yPdydP=P(P−ydydP)，这里有个小细节，要注意讨论P=0P=0P=0的情况，但是在这个题里不讨论也能选出正确选项，我就在模拟考试时忘了讨论，当P=0P=0P=0时，y′=0y_{'}=0y′=0，故y=Cy=Cy=C，CCC为任意常数，另外的情况按一阶微分方程解即可
线性代数经典结论，知道nnn维实列向量α\boldsymbol{\alpha}α有这样的关系：αTα=C\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=CαTα=C，CCC为非0常数，则矩阵ααT\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha^{\mathrm{T}}}ααT为实对称矩阵，其特征值为C,0,...,0C,0,...,0C,0,...,0，其可相似对角化于(c0...000...0⋮⋮⋱⋮0000)\begin{pmatrix} c & 0 & ...& 0\\ 0& 0 & ... &0\\ \vdots & \vdots& \ddots & \vdots \\ 0& 0& 0&0 \end{pmatrix}⎝⎛c0⋮000⋮0......⋱000⋮0⎠⎞，则r(ααT)=1r\left(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\right)=1r(ααT)=1，题中αTα=2\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=2αTα=2所以实对称矩阵E−2ααT\boldsymbol{E}-2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}E−2ααT有特征值为1−4,1−0,...,1−01-4,1-0,...,1-01−4,1−0,...,1−0即−3,1,...1-3,1,...1−3,1,...1，故r(E−2ααT)=nr\left(\boldsymbol{E}-2 \alpha \alpha^{\mathrm{T}}\right)=nr(E−2ααT)=n，所以E−2ααT\boldsymbol{E}-2 \alpha \alpha^{\mathrm{T}}E−2ααT可逆，设C=E−2ααT\boldsymbol{C}=\boldsymbol{E}-2 \alpha \alpha^{\mathrm{T}}C=E−2ααT，则由AC=B\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}AC=B可知，B\boldsymbol{B}B的列向量组都可以被A\boldsymbol{A}A的列向量组线性表示，因为C\boldsymbol{C}C可逆，所以BC−1=A\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}^{-1}=\boldsymbol{A}BC−1=A，故A\boldsymbol{A}A的列向量组都可以被B\boldsymbol{B}B的列向量组线性表示，相互线性表示就是列向量组等价。
初等变化做一下就知道了，左右乘的两个初等矩阵不可逆（可以试一试相乘等不等于单位矩阵），但是这两个初等矩阵互为转置，那这就是合同的定义，然后再分别取行列式算一算就知道答案了。
这里我选对了，但是我忘了重要结论，实对称矩阵加加减减还是实对称矩阵，实对称矩阵的逆矩阵是实对称矩阵，实对称矩阵的伴随矩阵是实对称矩阵，实对称矩阵的乘积不一定是实对称矩阵，反例比如：已知实对称矩阵A=(1000)\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}A=(1000)和实对称矩阵B=(2112)\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix} 2&1 \\ 1&2 \end{pmatrix}B=(2112)，则AB=(2100)\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix} 2&1 \\ 0&0 \end{pmatrix}AB=(2010)，显然它们的乘积不是实对称矩阵，实对称矩阵必可相似对角化，只有（B）选项那个乘积形式不一定是实对称矩阵，而且它们的乘积的矩阵也不一定有nnn个线性无关的特征向量，故它不一定能对角化，选（B）
直接做就行，求导之后带入弧长公式，带入后需要简单化简一下，就要把那个1+sin(xn)\sqrt{1+sin(\frac{x}{n})}1+sin(nx)的被积函数，换个元，然后按二倍角公式将它展开成一个完全平方，方便开方，换元后积分区间变成了(0,π)(0,\pi)(0,π)，这样的话那两个三角函数在这和个区间的加和都是正的（u2\frac{u}{2}2u相当于把一个周期拉长了，如果看不懂再换个元就看出来了，令t=u2t=\frac{u}{2}t=2u，然后ttt的范围就变成了(0,π2)(0,\frac{\pi}{2})(0,2π)，这样sintsintsint和costcostcost都是正的，直接开方即可）
注意这个参数方程中yyy的参数方程需要还原后再求导，直接求不方便，剩下的就是计算准确性了。
***这个好像是“永动机”方程（开玩笑），时间无穷大时这个质点才能停下，这个题主要是会观察零点，包括广义的零点，它的速度对时间的函数是v(t)=tetv(t)=\sqrt{t}e^{t}v(t)=tet，这一看有一个正常的零点t=0t=0t=0，还有一个广义零点t⟶+∞t\longrightarrow +\inftyt⟶+∞，开始运动时速度为0，运动停止时速度也为0，开始时一定是t=0t=0t=0，再找另一个广义零点就OK了，好家伙，直接停不下来了是吧（卡其脱离太）这个题我做错了，我想到广义的零点了，但是我忘记了如果已知速度对时间的函数v(t)v(t)v(t)，则在t1t_{1}t1到t2t_{2}t2时刻内的路程应该是∫t1t2v(t)dt\int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t)dt∫t1t2v(t)dt，我高中物理学的不好，模拟考试时直接对tv(t)tv(t)tv(t)积分了（这是错误的）。算这个积分要用到表格积分法，具体详见武忠祥老师讲表格积分法（表格积分法是陈文灯大师引进考研数学的）。重新复盘一遍如下：

这个二重积分要换序，但是换序后发现yyy上下穿线的范围是反的，需要外面取个负号再换序，换序后就好算了
答案直接两边按隐函数求导，我按隐函数求导法则做的，我的做法：

答案的做法：

我觉得我那种做法可能更不容易错吧，可惜这题不是求某点偏导数，要是能先代后求就好了。
***这题我做错了，那个分块矩阵应该是6×66\times66×6的，我按3×33\times33×3展开行列式算了，相当于少乘了一个(−2)3(-2)^{3}(−2)3，重新复盘如下：

【注】∣OBAC∣=∣CBAO∣=(−1)mn∣A∣∣B∣\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \end{array}\right|=(-1)^{m n}|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|∣∣OABC∣∣=∣∣CABO∣∣=(−1)mn∣A∣∣B∣，其中A\boldsymbol{A}A 为nnn阶矩阵，B\boldsymbol{B}B 为mmm阶矩阵
这题是1的无穷大类型的极限，直接写成标准型然后算指数部分，算就完事了
***我这题第二问做错了，题目说aaa是变的，我就以为这题需要带着aaa做参数写xxx和yyy关于aaa的参数方程，结果看了答案，这个拐点带aaa的形式带回函数能消掉参数aaa，且拐点一定在曲线上，这题也是形式凑巧，函数是f(x)=x2ln(ax)f(x)=x^{2}ln(ax)f(x)=x2ln(ax)，只需要将拐点x=1ae(−32)x=\frac{1}{a}e^{(-\frac{3}{2})}x=a1e(−23)带到函数的因子ln(ax)ln(ax)ln(ax)中就消掉了参数aaa，使得其变成方程y=−32x2y=-\frac{3}{2}x^{2}y=−23x2，我做的很麻烦，写出了xxx和yyy关于aaa的参数方程，然后再按yyy轴旋转的旋转体体积公式带入算错了，其实这旋转的体积，这题第一问就是求普通的极值点，第二问重新复盘如下：
答案的做法比我的做法要巧妙很多，推荐答案这种做法即方法2带入消参，以后遇到这类题我要注意观察能否这样带入消参，顺带说一句，所有的负指数的幂函数都不要写成1/f(x)1/f(x)1/f(x)的形式，我就是写成这个形式结果按正指数的幂函数积分的，这种小细节真是……只能说我计算马虎，我要改。
***这题我没算出来，模拟考试的时候，我看到这个题目构成的微分方程解起来很难算，解到两个距离相等，一个带绝对值，平方后不是常见的微分方程类型，就想先不算，做下面的题，结果答完卷子时间也就到了。我是没想到这个题开局居然要判断切线与xxx轴交点的位置是在xxx轴正半轴还是负半轴，重新复盘如下：

19题是太恶心了，还要讨论这么多，技不如大佬啊tr(me)<tr(大佬)tr(me)<tr(大佬)tr(me)<tr(大佬)
***又是一道算错数的题目，先解偏微分方程，比较常规，解完后带入二重积分表达式开始计算，发现要去掉绝对值需要分区域，区域我也画完了，就是单纯算错了，在计算期间为了简化计算还用了依次雅克比换元，这样就能利用积分区域的对称性和被积函数偶函数的性质二倍起来，可惜算错了（答案的做法也是很巧妙，直接利用降幂公式处理了三角函数，省去了函数复杂的形式），重新复盘如下：

我的做法用了雅克比，然后换到了对称区间，计算量太大，要算吐了，复盘的时候算错了好几次，答案的做法较为巧妙简洁，就是跳步骤太多，我把步骤补上：
妙用含有绝对值的三角函数的六个大连等式，(0,π)(0,\pi)(0,π)上，sinxsinxsinx是正的，开32\frac{3}{2}23次方要加绝对值，因为本质上是先3次方后开二次方，开二次方限定了要加绝对值，这题计算太恶心，还是要注意二倍角公式的正用和逆用，我算这个题用了20分钟，我算的方法不简洁耽误了时间，唉
***这个题我没思路，我看到这个形式想在(0,1）区间试着用拉格朗日中值定理，看到最大值想到了介值定理，写了半天没写出来，看着考试快要结束，赶快去做了线代，现在重新复盘如下：
这个中值定理复盘后发现还是比较常规的，只是我模考的时候紧张了，唉
***第二问着急算错了，这个题就是利用正交矩阵的性质（列向量模长为1）然后求三个参数，最后要求化规范型，先观察第一问化成的标准型，直接令标准型的那个形式为z，然后反求一下就出来了，重新复盘如下：

总结

这套卷解答题计算量大，选填题不难，解答题的难度全靠计算量堆起来的，接下来还是主要练计算，复盘用时太长了，主要是那几个比较难算的题目算起来真的费时，也请什么秒杀党150党高分党远离这篇，我就是个普通人，做数学计算挺难的，以后还会自己做总结。

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