一、计算题

1． 设某商店中每月销售某商品的数量X 服从参数为7的泊松分布. 问在月初应进货多少件，才能保证当月不脱销的概率不小于0.90.

【答案】用k 表示在月初进货该商品的件数，则由题意知k 应满足如下不等式

查泊松分布表中数值知

故应在月初至少进10件，才能保证当月不脱销的概率不小于0.90.

2． 某电子计算机主机有100个终端，每个终端有互独立的，试求至少有15个终端空闲的概率.

【答案】记X 为100个终端中被使用的终端个数，则心极限定理，所求概率为

这表明至少有15个终端空闲的概率近似为

3． 设有一批产品成箱出售, 每箱有产品10件, 各箱含1件次品, 2件次品, 3

件次品的概率分别为

, 20%和20%.顾客购买时, 由售货员随意选一箱, 顾客开箱任取4件进行检验, 若发现次品不多于1件, 则确定购买此箱产品, 否则不买

.

求顾客购买一箱产品的概率；

若顾客共挑选150箱这样的产品, 求确定购买产品箱数的数学期望与方差. 【答案】则

由全概率公式得

其中

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的时间被使用. 若各个终端是否被使用是相

利用棣莫-拉普拉斯中

设

故

设X 表示顾客挑选150箱后确定购买的箱数, 则易知X 服从二项分布故

4． 设

是来自分布函数为的联合条件密度函数.

【答案】次序统计量

联合密度函数为

而后

个次序统计量

的联合密度函数为

故所求的联合条件密度函数为

最后结果表明:所求条件密度函数只与无关. 从而，其分布也仅依赖于

这样一来，条件密度函数

完全可以写成

5． 设曲线函数形式为试给出；若不能，说明理由.

【答案】能. 令

则变换后的函数形式为

，问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式，若能，的给定值

有关，而与

的取值

密度函数为

的一个样本

. 给定时，

是其次序统计量，试求在

6． (巴拿赫问题)某数学家有两盒火柴，每盒都有n 根，每次使用时，他任取一盒并从中抽出一根，问他发现一盒空而另一盒还有概率是此概率的2倍.

先计算样本空间中的样本点个数，因为每次都是等可能地取A 盒或B 盒，共取了2n -r +l 次，故样本空间中共有

个样本点.

事件E 发生可分两段考察，前2n -r 次中A 盒恰好取到n 次，且次序不论，最后一次(第2n -r +l

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根的概率是多少？

【答案】由对称性知，只要计算事件E =“发现A 盒空而B 盒还有r 根”的概率即可，所求

次)必定取到A 盒，这样才能发现A 盒已空，此种样本点共有

. 所求概率为

譬如，取n=20，r=10, 可算得

7． 试证:概率为零的事件与任何事件都是独立的.

【答案】设P (A )=0, 则任对事件B 有从而得

个，因此

，所以由概率的单调性知，

，所以A 与B 独立.

8． 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以min 计)服从指数分布，其密度函数为

某顾客在窗口等待服务，若超过他未等到服务而离开窗口的次数，试求

【答案】因为

，其

中

他就离开. 他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内

所以得

9． 化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的质量服从正态分布，其平均质量为100kg , 标准差为1.2kg. 某日开工后，为了确定这天包装机工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得质量如下:

设方差稳定不变，问这一天包装机的工作是否正常(取【答案】这是一个双侧假设检验问题，总体

)？

，待检验的问题为

，查表知检验拒绝域为若取由样本数据算得，

此处值未落入拒绝域内，因此不能拒绝原假设，不能认为这一天包装机的工作不正常.

10．测得一组弹簧形变x (单位:cm )和相应的外力y (单位:N )数据如下:

表

由胡克定律知

试估计k , 并在x=2.6cm处给出相应的外力y 的0.95预测区间.

【答案】k 的最小二乘估计为

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