1 /*

2 枚举就是基于已有知识镜像答案猜测的一种问题求解策略3

4 问题：求小于n的最大素数5

6 分析：7 找不到一个数学公式，使得根据N就可以计算出这个素数8

9 我们思考：10 N-1是素数么？N-2是素数吗？...11

12 所以我们就是判断N-K是否为素数：13 N-K是素数的充分必要条件：N-K不能被[2,n-k)中任何一个整除14

15 判断N-K是否为素数的问题可以转化为：16 求小于N-K的全部素数(求“小于N的最大素数”中的条件是“n不能被[2,n)中任意一个素数整除”，而不是整数)17 不能被[2,n)中任意一个素数整除的数一定是素数，因为那些整数都是以素数为因子的，18 所以没必要检测所有整数，检测所有素数就ok了19

20 解决方法：21 2是素数，记为PRIM 022 根据PRIM 0，PRIM 1，...PRIM K，寻找比PRIM K大的最小素数PRIM K+1(这里是根据素数找素数)23 如果PRIM K+1大于N，则PRIM K是我们需要找的素数，否则继续寻找24

25 枚举：26 从可能的集合中一一列举各元素27 根据所知道的知识，给一个猜测的答案28 比如：2是素数，那2是本问题的解么29

30 枚举算法：31 对问题可能解集合的每一项：32 根据问题给定的检验条件判断哪些是成立的33 使条件成立的即为问题的解34

35 枚举过程：36 判断猜测答案是否正确37 2是小于N的最大素数么？38 进行新的猜测：39 有两个关键因素要注意：40 1. 猜测的结果必须是前面的猜测中没有出现过的。每次猜测的素数一定要比已经找到的素数大41 2. 猜测的过程中要及早排除错误的答案。比如：除2之外，只有奇数才可能是素数42

43 枚举过程中需要考虑的问题：44 1. 给出解空间，建立简介的数学模型45 可能的情况是什么？46 模型中变量数尽可能的少(使规模尽量小)，他们之间相互独立47 求“小于N的最大素数”中的条件是“n不能被[2,n)中任意一个素数整除”48 而不是“n不能被[2,n)中任意一个整数整除”49 2. 减少搜索的空间50 利用知识缩小模型中各变量的取值范围，避免不必要的计算51 比如：较少代码中循环体执行的次数52 除2之外，只有奇数才可能是素数，{2,2*i+1|1<=i,2*i+1

57

58 枚举关键字(枚举核心)：59 减少规模60

61 */

62

63 #include

64 using namespacestd;65 int prim[50000];//用来存所有素数

66 int primNum=0;//用来记录 prim数组中已经存入的素数的数量

67 int times=0; //用于记录求解问题的总共判断次数

68 int primLessN(intn);69 int primLessN_2(intn);70 bool isPrimMothed(int n); //判断一个数是否为素数

71

72 /*

73 方法一：由前往后用素数判断的枚举法：74 求“小于N的最大素数”中的条件是“n不能被[2,n)中任意一个素数整除”，而不是整数75

76 当n=10 0000时，77 ans=9999178 times=4626 4478次79 primNum=959280

81 我每一个素数被判断出来，都要遍历一下之前的素数表82 而判断10 0000的时候，外层循环走了50000，里层每一个素数就是一次之前素数表的遍历83 50000*(1+2+3+...+9592)=50000* 4600 808284 前面那个数没有50000，还要减去那些非素数85 从 50000* 4600 8082可以看出，主要是之前那些素数花的时间，非素数几乎没花时间86 非素数= 4626 4478-4600 8082= 25 645087 只有25万，虽然还是要比下面多很多，因为是从前往后比较的88 */

89 int primLessN(intn)90 {91 prim[0]=2; //2是最小的素数

92 primNum++;93 for(int i=3;i

95 for(int j=0;j

100 }101

102 }103 if(isPrim) prim[primNum++]=i;//如果是素数，则存入prim素数数组

104 }105 return prim[primNum-1];106 }107

108 /*

109 方法二： 由后往前的整数枚举法110 而且方法二的空间消耗也少111

112 当n=10 0000时，113 ans=99991114 times=346次115

116 当n=100 0000时，用方法一的话，根本算不出来117 ans=99 9983118 times=1811次119

120 当n=1 0000 0000(一亿)时，121 ans=9999 9989122 times=11314次123

124 当n=10 0000 0000(十亿)时，125 ans=9 9999 9937126 times=52537次127 */

128 bool isPrimMothed(intn){129 bool isPrim=1; //isPrim用来判断一个数是否为素数

130 if(n==2||n==3) return 1;131 for(int i=2;i*i<=n;i++){132 times++;133 if(n%i==0) return 0;134 }135 return 1;136 }137

138 int primLessN_2(intn){139 for(int i=n;i>=2;i--){140 if(isPrimMothed(i)) returni;141 }142 }143 intmain(){144 intn;145 scanf("%d",&n);146 //int ans=primLessN(n);

147 int ans=primLessN_2(n);148 cout<