从“递归结构”到解汉诺塔问题的求解

解决递归问题的关键在于寻找递归的结构。
寻找一个可递归问题的递归结构，不仅可以直观地转换为程序语言，进行问题的求解，而且也为我们人脑对问题的求解提供思路，比如3阶的汉诺塔，我们还可简单设计方案，倘若四阶、五阶甚至更高阶，有了对递归的认识，我们便有了求解问题的套路。

比如斐波那契数列的递归结构是什么：

f(n)=f(n−1)+f(n−2)

f(n)=f(n-1)+f(n-2)

从数学语言向程序语言：

def fib(n):return n if n <= 1 else fib(n-1)+fib(n-2)

整数的幂指数 ana^n：

an=a×an−1f(n)=a×f(n−1)

\begin{array}{l} a^n=a\times a^{n-1}\\ f(n)=a\times f(n-1) \end{array}

从数学语言向程序语言：

def power(a, n):return a if n == 1 else a*power(a, n-1)

nn 阶汉诺塔的递归结构又是什么呢？我们可将 nn 阶汉诺塔想象成两部分，上面的 n−1n-1 个圆盘（将此 n−1n-1 视为 1），和最下的 11 个圆盘，也即：

Hanoi(n)=Hanoi(n−1)+Hanoi(1)

\textrm{Hanoi}(n)=\textrm{Hanoi}(n-1)+\textrm{Hanoi}(1)
我们便将一个 nn 阶的汉诺塔问题，变成了类似二阶的问题。

def hanoi(n, fromStack, toStack, spareStack):if n == 1:print('move disk from', fromStack, 'to', toStack)else:hanoi(n-1, fromStack, spareStack, toStack)hanoi(1, fromStack, toStack, spareStack)hanoi(n-1, spareStack, fromStack, toStack)
if __name__ == '__main__':hanoi(3, 'a', 'b', 'c')

汉诺塔问题递归求解的时间复杂度分析

t(n)=====1+t(n−1)+t(1)+t(n−1)3+2t(n−1)3+2×3+22×3+⋯+2n−2×3+2n−1t(1)3×(2n−1−1)+2n−1×23×(2n−1−1)+2n

\begin{split} t(n)=&1+t(n-1)+t(1)+t(n-1)\\ =&3+2t(n-1)\\ =&3+2\times 3+2^2\times 3+\cdots+2^{n-2}\times 3+2^{n-1}t(1)\\ =&3\times (2^{n-1}-1)+2^{n-1}\times 2\\ =&3\times (2^{n-1}-1)+2^n \end{split}

时间复杂度为：O(2n)O(2^n)，指数级（exponential）；

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