Silhouette题解

题目描述

有一个 n ∗ n n*n n∗n的网格，在每个格子上堆叠了一些边长为1的立方体。现在给出这个三维几何体的正视图和左视图，求有多少种与之符合的堆叠立方体的方案。两种方案被认为是不同的，当且仅当某个格子上立方体的数量不同。输出答案对 1 0 9 + 7 10^9+7 109+7取模的结果。

题解

题目其实就是问下面方程组有多少个非负整数解

∀ i ∈ [ 1 , n ] , max ⁡ j = 1 n x i , j = A i , max ⁡ j = 1 n x j , i = B i \forall i\in [1,n],\max\limits_{j=1}^n x_{i,j}=A_i,\max_{j=1}^n x_{j,i}=B_i ∀i∈[1,n],j=1maxnxi,j=Ai,maxj=1nxj,i=Bi

我们可以先将 A , B A,B A,B排序，这对最终答案不会有什么影响。如果 A A A的最大值不等于 B B B的最大值，则无解；否则方程一定有解。

我们可以枚举 A A A数组和 B B B数组中每一个数 s s s，找出最大值为 s s s的区域，求出该区域的方案数。

如果此时的s 为为为 A , B A,B A,B数组的最大值，则该区域显然是一个矩形。设这个矩形大小为 a ∗ b a*b a∗b，我们可以用容斥求解

设

f ( i ) = C a i ∗ ( s i ∗ ( ( s + 1 ) a − i − s a − i ) ) b f(i)=C_a^i*(s^i*((s+1)^{a-i}-s^{a-i}))^b f(i)=Cai∗(si∗((s+1)a−i−sa−i))b

该区域的方案数为 ∑ i = 0 a = ( − 1 ) i f ( i ) \sum\limits_{i=0}^a=(-1)^if(i) i=0∑a=(−1)if(i)

若 s s s不是 A , B A,B A,B数组的最大值，则我们要求解的区域可能是一个矩形，也可能是一个 L L L形。矩形则同上， L L L形则要重新推公式。

如果是 L L L形，则非法的只有可能是 L L L形左下方满足 a i = s a_i=s ai=s且 b j = s b_j=s bj=s的矩形。因为上面的行的值和右边的列的值更大，不可能非法。

设这个矩形大小为 a ∗ b a*b a∗b，上面还有 c c c行，右边还有 d d d列。先处理 ( a + c ) ∗ b (a+c)*b (a+c)∗b的矩阵，在处理 a ∗ d a*d a∗d的矩阵

则设

f [ i ] = ∑ i = 0 a C a i ∗ ( s i ∗ ( ( s + 1 ) a + c − i − s a + c − i ) ) b ∗ ( s i ∗ ( s + 1 ) a − i ) d f[i]=\sum\limits_{i=0}^a C_a^i*(s^i*((s+1)^{a+c-i}-s^{a+c-i}))^b*(s^i*(s+1)^{a-i})^d f[i]=i=0∑aCai∗(si∗((s+1)a+c−i−sa+c−i))b∗(si∗(s+1)a−i)d

该区域的方案数为 ∑ i = 0 a = ( − 1 ) i f ( i ) \sum\limits_{i=0}^a=(-1)^if(i) i=0∑a=(−1)if(i)

最后将每个区域的解相乘即为答案。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,c1,a[100005],b[100005],c[200005];
long long ans=1,now,vk,jc[100005],ny[100005];
long long mod=1000000007;
long long mi(long long t ,long long v){if(v==0) return 1;long long re=mi(t,v/2);re=re*re%mod;if(v%2==1) re=re*t%mod;return re;
}
long long C(int x,int y){return jc[x]*ny[y]%mod*ny[x-y]%mod;
}
void pd(int a1,int b1,int c1,int d1,long long t){now=0;long long tp=1;for(int i=0;i<=a1;i++){vk=C(a1,i)*mi(mi(t,i)*((mi(t+1,a1+c1-i)-mi(t,a1+c1-i)+mod)%mod)%mod,b1)%mod;vk=vk*mi(mi(t,i)*mi(t+1,a1-i)%mod,d1)%mod;now=(now+tp*vk)%mod;now=(now+mod)%mod;tp=tp*(-1);}
}
int main()
{jc[0]=1;for(int i=1;i<=100000;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%mod;ny[100000]=mi(jc[100000],mod-2);for(int i=99999;i>=0;i--){ny[i]=ny[i+1]*(i+1)%mod;}scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);c[++c1]=a[i];}for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&b[i]);c[++c1]=b[i];}sort(a+1,a+n+1);sort(b+1,b+n+1);sort(c+1,c+c1+1);c1=unique(c+1,c+c1+1)-c-1;if(a[n]!=b[n]){printf("0");return 0;}int l1=n+1,l2=n+1,v1=n,v2=n;for(int i=c1;i>=1;i--){while(a[v1-1]==c[i]) --v1;while(b[v2-1]==c[i]) --v2;pd(l1-v1,l2-v2,n-l1+1,n-l2+1,c[i]);ans=ans*now%mod;l1=v1;l2=v2;}printf("%lld",ans);return 0;
}