BZOJ 3118 Orz the MST 线性规划

题意:链接

方法:线性规划

解析:

这道题我也是orz了。

刚开始脑抽，仅仅是认为所有标号为1的边都比标号为0的边小即可。

后来与140142讨论了下发现我俩都犯好sb的错误=-=

这个图也是建了一阵子。

回忆之前做过的有关一个无向联通图中，一个边在最小生成树上，必要条件是该边构成的环中，这一边一定不是最大值。

这样的话，题中既然给了在树上的边。

并且很显然树上的边只能增加，不在树上的边只能减小。

所以我们不妨设XiX_i代表第i条边的变化值

那么我们可以重新显然定义代价CiC_i。

结合之前的结论

编号为j的标号为0的一条边，与树中的i,k边形成环。

则有如下限制

Xj+Wj>=Wi−XiX_j+W_j>=W_i-X_i

Xj+Wj>=Wk−XkX_j+W_j>=W_k-X_k

则

Xi+Xj>=Wi−WjX_i+X_j>=W_i-W_j

Xk+Xj>=Wk−WjX_k+X_j>=W_k-W_j

我们可以列出所有诸如此类的限制，并且对于本题的数据，该限制不超过4000。

我们的目标函数是什么？

最小化∑mi=1Xi∗Ci\sum_{i=1}^{m}X_i*C_i

这种形式是不是有点眼熟？

是的，直接用对偶原理即可求解。

然而，该题仍有一种较神的写法博主没有写过

就是这种没有基本可行解的线性规划，我们可以设一个辅助变量来求解。

代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 310
#define M 1010
#define INF 0x7f7f7f7f
using namespace std;
double a[M][M<<2];
int st[N];
struct line
{int u,v,w,ff,a,b;
}l[M];
int head[N],cnt,n,m,top,tot;
struct node
{int from,to,ff,no,a,b,next;
}edge[M<<1];
void init()
{memset(head,-1,sizeof(head));cnt=1;
}
void edgeadd(int from,int to,int ff,int no)
{edge[cnt].from=from,edge[cnt].to=to,edge[cnt].ff=ff,edge[cnt].no=no;edge[cnt].next=head[from];head[from]=cnt++;
}
void dfs(int now,int fa,int e,int edge0)
{if(now==e){while(top){tot++;int no=st[top--];a[no][tot]=1;a[edge0][tot]=1;a[0][tot]=l[no].w-l[edge0].w;}return;}for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].next){int to=edge[i].to;if(to==fa)continue;st[++top]=edge[i].no;dfs(to,now,e,edge0);st[top--]=0;}
}
int check()
{for(int i=1;i<=tot;i++)if(a[0][i]>0)return i;return 0;
}
void Simplex()
{while(int t=check()){double limit=INF;int choseline;for(int i=1;i<=m;i++){if(a[i][t]<=0)continue;else if(a[i][0]/a[i][t]<limit)limit=a[i][0]/a[i][t],choseline=i;}if(limit==INF){a[0][0]=INF;break;}double di=a[choseline][t];for(int i=0;i<=tot;i++){if(i==t)a[choseline][i]/=di;a[choseline][i]/=di;}for(int i=0;i<=m;i++){if(i==choseline||a[i][t]==0)continue;if(i==0)a[i][0]+=a[i][t]*a[choseline][0];else a[i][0]-=a[i][t]*a[choseline][0];double l=a[i][t];for(int j=1;j<=tot;j++){if(j==t)a[i][j]=-l*a[choseline][j];else a[i][j]-=l*a[choseline][j];}}}
}
int main()
{init();scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){int u,v,w,ff,A,b,no;scanf("%d%d%d%d%d%d",&u,&v,&w,&ff,&A,&b);l[i].u=u,l[i].v=v,l[i].w=w,l[i].ff=ff,l[i].a=A,l[i].b=b;if(ff)a[i][0]=b;else a[i][0]=A;if(ff)edgeadd(u,v,ff,i),edgeadd(v,u,ff,i);}for(int i=1;i<=m;i++){if(l[i].ff==0){top=0;dfs(l[i].u,0,l[i].v,i);}}Simplex();printf("%.0lf\n",a[0][0]);
}

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后来与140142讨论了下发现我俩都犯好sb的错误=-=

这个图也是建了一阵子。

回忆之前做过的有关一个无向联通图中，一个边在最小生成树上，必要条件是该边构成的环中，这一边一定不是最大值。

这样的话，题中既然给了在树上的边。

并且很显然树上的边只能增加，不在树上的边只能减小。

所以我们不妨设XiX_i代表第i条边的变化值

那么我们可以重新显然定义代价CiC_i。

结合之前的结论

编号为j的标号为0的一条边，与树中的i,k边形成环。

则有如下限制

Xj+Wj>=Wi−XiX_j+W_j>=W_i-X_i

Xj+Wj>=Wk−XkX_j+W_j>=W_k-X_k

则

Xi+Xj>=Wi−WjX_i+X_j>=W_i-W_j

Xk+Xj>=Wk−WjX_k+X_j>=W_k-W_j

我们可以列出所有诸如此类的限制，并且对于本题的数据，该限制不超过4000。

我们的目标函数是什么？

最小化∑mi=1Xi∗Ci\sum_{i=1}^{m}X_i*C_i

这种形式是不是有点眼熟？

是的，直接用对偶原理即可求解。

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