HDU6265 Master of Phi (欧拉函数狄利克雷卷积）

HDU6265 B. Master of Phi (欧拉函数&狄利克雷卷积）

太菜了，数论太弱了，还需要多做一些习题。

题意：

给定 n n n的质因数分解： p 1 q 1 p 2 q 2 … p m q m = n p_1^{q_1} p_2^{q_2}\dots p_m^{q_m}=n p1q1p2q2…pmqm=n。

求 ∑ d ∣ n φ ( d ) × n d \sum_{d|n}\varphi(d)\times\dfrac{n}{d} ∑d∣nφ(d)×dn

前置知识：

狄利克雷卷积： ( f ∗ g ) ( n ) = ∑ d ∣ n f ( d ) × g ( n d ) (f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)\times g(\dfrac{n}{d}) (f∗g)(n)=∑d∣nf(d)×g(dn)

两个积性函数的狄利克雷卷积也是积性函数。

因为欧拉函数 φ ( n ) , I d ( n ) = n \varphi(n),Id(n)=n φ(n),Id(n)=n都是积性函数。

所以 h ( n ) = ∑ d ∣ n φ ( d ) × I d ( n d ) h(n)=\sum_{d|n}\varphi(d)\times Id(\dfrac{n}{d}) h(n)=∑d∣nφ(d)×Id(dn)

由积性函数的性质可知： h ( n ) = ∏ i = 1 m h ( p i q i ) h(n)=\prod\limits_{i=1}^m h(p_i^{q_i}) h(n)=i=1∏mh(piqi)

所以题意转化为求所有的 h ( p i q i ) h(p_i^{q_i}) h(piqi)的乘积。

h ( p q ) = ∑ d ∣ p q φ ( d ) × p q d = ∑ i = 0 q φ ( p i ) × p q − i h(p^q)=\sum_{d|p^q}\varphi(d)\times \dfrac{p^q}{d}\\=\sum\limits_{i=0}^q\varphi(p^i)\times p^{q-i} h(pq)=∑d∣pqφ(d)×dpq=i=0∑qφ(pi)×pq−i

因为 φ ( p i ) = ( p − 1 ) p i − 1 \varphi(p^i)=(p-1)p^{i-1} φ(pi)=(p−1)pi−1

所以 h ( p q ) = φ ( 1 ) × p q + ∑ i = 1 q φ ( p i ) × p q − i = p q + q ( p − 1 ) p q − 1 = p q − 1 ( p + q ( p − 1 ) ) h(p^q)=\varphi(1)\times p^q+\sum\limits_{i=1}^q \varphi(p^i)\times p^{q-i}=p^q+q(p-1)p^{q-1}\\=p^{q-1}(p+q(p-1)) h(pq)=φ(1)×pq+i=1∑qφ(pi)×pq−i=pq+q(p−1)pq−1=pq−1(p+q(p−1))

然后带入就好了。

时间复杂度： O ( m l o g q ) O(mlogq) O(mlogq)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e3 + 5, M = 2e4 + 5, inf = 0x3f3f3f3f, mod = 998244353;
#define mst(a, b) memset(a, b, sizeof a)
#define PII pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
int t, n;
ll ksm(ll a, ll n)
{ll ans = 1;while (n){if (n & 1)ans = ans * a % mod;a = a * a % mod;n >>= 1;}return ans;
}
int main()
{scanf("%d", &t);while (t--){scanf("%d", &n);ll ans = 1;while (n--){ll p, q;scanf("%lld%lld", &p, &q);ll x = ksm(p, q - 1), y = (p + q * (p - 1) % mod) % mod;ans = ans * x % mod * y % mod;}printf("%lld\n", ans);}return 0;
}

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