拉格朗日插值 - 洛谷 P4781

题目描述

n 个点 ( x i , y i ) 可以唯一地确定一个多项式 y = f ( x ) 。 n 个点 (x_i,y_i)可以唯一地确定一个多项式 y = f(x)。 n个点(xi,yi)可以唯一地确定一个多项式y=f(x)。

现在，给定这 n 个点，请你确定这个多项式，并求出 f ( k ) m o d 998244353 的值。现在，给定这 n 个点，请你确定这个多项式，并求出 f(k) \bmod 998244353的值。现在，给定这n个点，请你确定这个多项式，并求出f(k)mod998244353的值。

输入格式

第一行两个整数 n , k 。第一行两个整数 n,k。第一行两个整数n,k。

接下来 n 行，第 i 行两个整数 x i , y i 。接下来 n 行，第 i 行两个整数 x_i,y_i。接下来n行，第i行两个整数xi,yi。

输出格式

一行一个整数，表示 f ( k ) m o d 998244353 的值。一行一个整数，表示 f(k) \bmod 998244353 的值。一行一个整数，表示f(k)mod998244353的值。

输入输出样例
输入 #1

输出 #1

输入 #2

输出 #2

说明/提示

样例一中的多项式为 f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 , f ( 100 ) = 10201 。样例一中的多项式为 f(x)=x^2+2x+1,f(100) = 10201。样例一中的多项式为f(x)=x2+2x+1,f(100)=10201。

样例二中的多项式为 f ( x ) = x ， f ( 100 ) = 100 。样例二中的多项式为 f(x)=x，f(100) = 100。样例二中的多项式为f(x)=x，f(100)=100。

1 ≤ n ≤ 2 × 1 0 3 ， 1 ≤ x i , y i , k < 998244353 ， x i 两两不同。 1 \le n \leq 2\times 10^3 ，1 \le x_i,y_i,k < 998244353 ，x_i两两不同。 1≤n≤2×103，1≤xi,yi,k<998244353，xi两两不同。

分析：

详讲见——拉格朗日插值

公式：

f ( x ) = ∑ i = 1 n y i ∏ j ≠ i x − x j x i − x j f(x)=\sum_{i=1}^ny_i\prod_{j≠i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j} f(x)=i=1∑nyij=i∏xi−xjx−xj

注意：

① 、整型溢出。 ①、整型溢出。 ①、整型溢出。

② 、中间过程负数取模要及时处理。 ②、中间过程负数取模要及时处理。 ②、中间过程负数取模要及时处理。

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<queue>#define ll long longusing namespace std;const int N = 2e3 + 10, mod = 998244353;ll n, k;
ll x[N], y[N];
ll up, down;ll quick_pow(ll a,ll b)
{ll res = 1;while(b){if(b&1) res = res*a%mod;a = a*a%mod;b>>=1;}return res;
}ll inv(ll a)
{return quick_pow(a,mod-2);
}int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&k);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&x[i], &y[i]);ll ans = 0;for(int i=1;i<=n;i++){up = 1, down = 1;for(int j=1;j<=n;j++)if(j!=i)up = up*((k-x[j])%mod)%mod,down = down*((x[i]-x[j])%mod + mod)%mod;ans = (ans + (ll)y[i]*up%mod*inv(down)%mod + mod)%mod;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}

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