蓝桥试题算法提高矩阵翻转

21-22-1蓝桥训练1 D.试题算法提高矩阵翻转

问题描述：

Ciel有一个N*N的矩阵，每个格子里都有一个整数。N是一个奇数，设X = (N+1)/2。Ciel每次都可以做这样的一次操作：他从矩阵选出一个X*X的子矩阵，并将这个子矩阵中的所有整数都乘以-1。现在问你经过一些操作之后，矩阵中所有数的和最大可以为多少。

输入格式

输入格式
第一行为一个正整数N。接下来N行每行有N个整数，表示初始矩阵中的数字。每个数的绝对值不超过1000。

样例输入

3
-1 -1 1
-1 1 -1
1 -1 -1

样例输出

数据规模与约定

1 <= N <= 33，且N为奇数。

定义:

x=(n+1)/2
a[N][N]表示矩阵初始值
dp[N]表示第x-1行某列是否翻转，0不翻转，1翻转

结论1

每次翻转的子矩阵大小为: x ∗ x x*x x∗x，对于 ( 0 < = i < n , 0 < = j < x ) (0<=i<n,0<=j<x) (0<=i<n,0<=j<x), ( i , j ) (i,j) (i,j), ( i , x − 1 ) , ( i , j + x ) (i,x-1),(i,j+x) (i,x−1),(i,j+x),这三处坐标要么均不翻转，要么其中有两处翻转。在第 x − 1 x-1 x−1行表示为 dp[j] ^ dp[x-1] ^ dp[j+x]==0。 ( 0 < = j < n , 0 < = i < x ) (0<=j<n,0<=i<x) (0<=j<n,0<=i<x)同理。
只要知道其中两个坐标是否翻转，便可求出剩下坐标的翻转与否。

结论2

对于 ( 0 < = i < x , 0 < = j < x ) (0<=i<x,0<=j<x) (0<=i<x,0<=j<x)，同时翻转以坐标 ( i , j ) ( i , j + 1 ) ( i + 1 , j ) ( i + 1 , j + 1 ) (i,j)(i,j+1)(i+1,j)(i+1,j+1) (i,j)(i,j+1)(i+1,j)(i+1,j+1)为左上角的子矩阵时，我们发现在矩阵左上角区域中，发生翻转的只有坐标 ( i , j ) (i,j) (i,j)，因此实际上在左上角区域中，各坐标的翻转是相互独立的。

步骤

根据结论1，我们可以枚举 x − 1 x-1 x−1行前 x x x列的翻转情况,根据公式求出后 n − x n-x n−x列的翻转情况。
对于每次枚举，可以依据结论2相互独立的特性，先枚举第 x − 1 x-1 x−1列每一行的翻转情况，再枚举左上角区域每个坐标 ( i , j ) (i,j) (i,j)，依据结论1可以求出 ( i , j + x ) 、 ( i + x , j ) 、 ( i + x , j + x ) (i,j+x)、(i+x,j)、(i+x,j+x) (i,j+x)、(i+x,j)、(i+x,j+x)的翻转情况，在每次枚举中取最大值即可。

如图所示 5 ∗ 5 5*5 5∗5矩阵,相同颜色代表可由左上角区域链接求出的翻转情况，计算时别忘了加上第 x − 1 x-1 x−1行和第 x − 1 x-1 x−1列。

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=123;
int a[N][N];
int dp[N];
int n;
int ans=-0x3f3f3f3f;
int turn(int k){return k?-1:1;
}
int main(){cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++){cin>>a[i][j];}}int x=(n+1)>>1;for(int i=0;i<(1<<x);i++){int now=0;for(int j=0;j<x;j++){dp[j]=(i>>j)&1;dp[j+x]=dp[j]^(i>>(x-1));now+=turn(dp[j])*a[x-1][j]+turn(dp[j+x])*a[x-1][j+x];}for(int j=0;j<x-1;j++){int to=-0x3f3f3f3f;for(int st=0;st<2;st++){int in=turn(st)*a[j][x-1]+turn(st^dp[x-1])*a[j+x][x-1];for(int k=0;k<x-1;k++){in+=max(a[j][k]+turn(0^st)*a[j][k+x]+turn(0^dp[k])*a[j+x][k]+turn(0^st^dp[k+x])*a[j+x][k+x],-a[j][k]+turn(1^st)*a[j][k+x]+turn(1^dp[k])*a[j+x][k]+turn(1^st^dp[k+x])*a[j+x][k+x]);}to=max(in,to);}now+=to;}ans=max(ans,now);}cout<<ans<<endl;return 0;
}

参考资料