(1) 概念引入

1.多目标优化模型

数学模型(一般都转化成最小问题)min⁡F(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))s.t.x∈Ω\min{F(x)}=(f_1(x),f_2(x),\dots,f_m(x))\\ ~~\\ s.t. x\in\OmegaminF(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x)) s.t.x∈Ω
决策空间： x=(x1,x2,…,xn)x=(x_1,x_2,\dots,x_n)x=(x1,x2,…,xn)所在的空间 Ω\OmegaΩ，其中 Ω={x∈Rn∣gi(x)≤0,i=1,2,…,p}\Omega=\{x\in R^n|g_i(x)\le0,i=1,2,\dots,p \}Ω={x∈Rn∣gi(x)≤0,i=1,2,…,p}。
目标空间：mmm维向量F(x)F(x)F(x)所在的空间。

2.支配

定义1：对最小化问题，一个向量 u=(u1,u2,…,uw)u=(u_1,u_2,\dots,u_w)u=(u1,u2,…,uw) 称为支配(优于)另一个向量 v=(v1,v2,…,vw)v=(v_1,v_2,\dots,v_w)v=(v1,v2,…,vw)，当且仅当 ui≤vii=1，2，⋯，mu_i\le v_i i=1，2，\dotsb，mui≤vii=1，2，⋯，m 且 ∃j∈{1，2,⋯,m}，uj<vj。\exist j\in\{1，2,\dotsb,m\}，u_j<v_j。∃j∈{1，2,⋯,m}，uj<vj。
定义2：对于任意两个自变量向量x1，x2∃Ωx_1，x_2\exist\Omegax1，x2∃Ω,如果下列条件成立：fi(x1)≤fi(x2),∀i∈{1,2,⋯,m}fj(x1)≤fj(x2),∀j∈{1,2,⋯,m}f_i(x_1)\le f_i(x_2),\forall i\in\{1,2,\dotsb,m\}\\ f_j(x_1)\le f_j(x_2),\forall j\in\{1,2,\dotsb,m\}fi(x1)≤fi(x2),∀i∈{1,2,⋯,m}fj(x1)≤fj(x2),∀j∈{1,2,⋯,m}则称 x1x_1x1 支配 x2x_2x2。
定义3：
- 如果 QQQ 中没有支配（优于）xxx 的解，则称 xxx 是问题的一个Pareto最优解。
- Pareto最优解的全体被称作Pareto最优解集；Pareto最优解集在目标函数空间的像集称为Pareto Front（Pareto前沿，阵（界）面）。

(2) 多目标优化的传统解法

加权法
理想点法(TOPSIS)
分层序列法(就是每次先求出一个最优值，然后把这个最优值当作不等式限制)
- 把 mmm 个目标篇按重要程度排序。假定 f1(x)f_1(x)f1(x) 最重要，fm(x)f_m(x)fm(x) 最不重要。
- 先求问题min⁡f1(x)s.t.x∈Ω\min{f_1(x)}\\s.t. x\in\Omegaminf1(x)s.t.x∈Ω 的最优解 x(1)x^{(1)}x(1) 及最优值 f1∗f_1^*f1∗。
- 再求问题min⁡f2(x)s.t.x∈Ω1=Ω∩{x∣f1(x)≤f1∗}\min{f_2(x)}\\s.t. x\in\Omega_1=\Omega\cap\{x|f_1(x)\le f_1^*\}minf2(x)s.t.x∈Ω1=Ω∩{x∣f1(x)≤f1∗} 的最优解 x(1)x^{(1)}x(1) 及最优值 f1∗f_1^*f1∗。
- 重复上面的步骤。

(3) 智能优化算法

这里选取 NSGA-II 方法
算法简介
- 首先随机产生种群规模为 NNN 的初始种群 PtP_tPt，进化代数 t=0t=0t=0。
- 开始循环，对 PtP_tPt 进行交叉变异操作生成新种群 QtQ_tQt。
- 取 Rt=Pt∪QtR_t=P_t\cup Q_tRt=Pt∪Qt。
- 对 RtR_tRt 进行非劣分类。
- 按非劣等级从低到高选出 NNN 个个体填充到 Pt+1P_{t+1}Pt+1 中。
  - 获取 RtR_tRt 中的第一非劣等级个体集，判断并决定该非劣等级能否全被新种群容纳。如果能，将该非劣等级的所有个体填充到新种群中，继续判断下一非劣等级能否全被新种群容纳。
  - 如此反复，直到不能容纳该非劣等级的所有个体,假设为第 i+1i+1i+1 级。对最后不能被完全容纳的非劣组中的个体求其拥挤距离,并选择分布最广的个体填充满新种群。
- 重复
快速非支配排序方法
- 首先不被任何点支配的点选出来，成为 F1F_1F1。
- 把选出来的点支配的点的支配关系全部删除，然后再看现在有哪些点不被任何点支配，成为 F2F_2F2.
拥挤距离di=∑m=1M∣fmi+1−fmi−1∣d_i=\sum_{m=1}^{M}|f_m^{i+1}-f_m^{i-1}|di=m=1∑M∣fmi+1−fmi−1∣
- did_idi 表示第 iii 个个体的拥挤距离。
- i−1i-1i−1 和 i+1i+1i+1 是个体 iii 沿着 iii 所在的Pareto Front Line 的两边邻近的两个个体。
- fmi+1f_m^{i+1}fmi+1 和 fmi−1f_m^{i-1}fmi−1 分别表示 i−1i-1i−1 和 i+1i+1i+1 个个体第 mmm 个目标函数值。(下面的图m=1,2m=1,2m=1,2)

(3) matlab的智能优化算法

1. 基本的两个函数

参数设置
- options=gaoptimset('paretoFraction',0.3,'populationsize',100'generations',200,'stallGenLimit',200,'TolFun',1e-10,'PlotFcns',@gaplotpareto);
- paretoFraction：最优个体系数这里设为0.3
- populationsize：种群大小这里设为100
- generations：最大进化代数这里设为200
- stallGenLimit：停止代数这里设为200
- TolFun：适应度函数偏差这里设为1e-10
- gaplotpareto：绘制Pareto前沿
函数引用
- [X,FVAL]=gamultiobj(fitnessfcn,nvars,A,b, Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options))
- fitnessfcn：函数句柄。
- nvars：变量个数。
- ub,lb：上下限。
- A,b：线性不等式约束。
- Aeq,beq：线性等式约束。

2. 例子

函数定义

%%这里定义该函数
function y=Fun(x)
y(1)=x(1);
y(2)=(1+x(2))/x(1);

进行计算

%%这里赋初值并且进行多目标优化的计算
fitnessfcn=@Fun;
nvars=2;
lb=[0.1,0];
ub=[1,5];
A=[-9,-1;-9,1];
b=[-6;-1];
Aeq=[];
beq=[]; options=gaoptimset('paretoFraction',0.4,'populationsize',200,'generations',300,'stallGenLimit',300,'TolFun',1e-10,'PlotFcns',@gaplotpareto); [x,fval]=gamultiobj(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)

结果

3. 如果有三个目标

可以先优化出来，得到 fval 然后用 scatter3 进行绘制。
对上面的问题增加条件 minx1+x2min~{x_1+x_2}min x1+x2
增加 scatter3(fval(:,1),fval(:,2),fval(:,3))
得到结果

现在已经转移到知乎，之后的文章会在知乎更新。

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多目标优化（智能算法）

文章目录

(1) 概念引入

1.多目标优化模型

2.支配

(2) 多目标优化的传统解法

(3) 智能优化算法

(3) matlab的智能优化算法

1. 基本的两个函数

2. 例子

3. 如果有三个目标

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