1. 单摆的模型

考虑如图所示的单摆：

$l$ 表示摆杆的长度， $m$ 表示摆锤的质量。假设杆是硬质的且质量为零。用 $\theta$ 表示杆与通过中心点的竖直轴间的夹角。单摆在竖直平面内自由摆动，摆锤以半径为 $l$ 的圆运动。为了写出单摆的运动方程，先来确定作用在摆锤上的力。有一个向下的重力 $mg$ ， $g$ 为重力加速度。还有一个阻碍运动的摩擦力，假设与摆锤的速度成正比，摩擦系数为 $k$ 。运用牛顿第二运动定律，可写出沿切线方向的运动方程：

$ml\ddot{\theta}=-mg\sin \theta - kl \dot{\theta}$

为得到单摆的状态模型，我们取状态变量 $x_1 = \theta, x_2 = \dot{\theta}$ ，状态方程为

$\begin{align} \dot{x}_1 &= x_2 \notag\\ \dot{x}_2 &= -\dfrac{g}{l} sin x_1 - \frac{k}{m} x_2 \notag \end{align}$

假设我们能运用单摆的力矩 $T$ ，就可以得到单摆的方程如下

$\begin{align} \dot{x}_1 &= x_2 \notag\\ \dot{x}_2 &= -\dfrac{g}{l} sin x_1 - \frac{k}{m} x_2 + \dfrac{1}{ml^2}T\notag \end{align}$

2. 控制器设计

我们期望单摆最终的状态量为 $\theta = \pi, \dot{\theta} = 0$ ，即单摆最终的状态是摆锤在最高点处静止。

定义期望的状态量为 $x_e$ ，可得误差为

$e_x = x_e-x$

定义正实数 $k_1, k_2 \in \mathbb{R}^+$ ，有

$\begin{align} u_x(1) = k_1e_x(1) \notag \\ u_x(2) = k_2e_x(2)\notag \end{align}$

可以得控制律

$T = ml^2\left(u_x(2)+\frac{g}{l}\sin x_1+\frac{k}{m}u_x(1)\right)$

3. 仿真结果

基于龙格库塔法对上述模型、控制器进行仿真，初始角度和角速度是随机值。

源码已上传到CSDN。

https://download.csdn.net/download/XSTX1996/12839724

4. 参考文献

[1] Khalil, Hassan K., and Jessy W. Grizzle. Nonlinear systems. Vol. 3. Upper Saddle River, NJ: Prentice hall, 2002.

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