LCT学习笔记/基本思路

我仅一届平凡人
LCT(Link Cut Tree)可以看作是Splay树维护的树链剖分。我们可以在一个动态树（森林）上维护树链信息。

重链剖分与实链剖分

类比树链剖分的重链剖分：
在Splay树的基础上，我们定义一条实边：

一个节点的孩子节点指向一个节点，这个孩子节点的fa指针也指向这个节点（即双向边）

相对性的，我们定义一条虚边

一个节点的孩子节点指向一个节点，这个孩子节点的fa指针不指向这个节点（即但向边）

我们把一个区块里的所有实边连接起来，构成一个Splay树。实链的顶部被称为这个splay树的根，在这种结构基础上。我们定义几种操作。

1.splay

和普通splay树一样，我们将一个点伸展到根节点

2.access

从一个节点x，将其到原树根节点建立一条全部都是实边的路径。

1.将该节点伸展至当前splay的根节点
2.将虚边上这个点的右孩子连接上这个根节点（虚边实化）
3.向上更新后继续向上伸展（对x的fa节点）

3.mkroot

给原树换根。我们可以想象，我们如果把一颗树的节点当成根节点，只要把此节点到原根节点的路径进行调换就ok了。
所以我们执行：

1.对x进行access操作。此时，x变成该splay树的最右边的节点（因为我们在access操作时，每到虚边我们都把它的根节点连接到上个节点的右孩子）
2.将x伸展至根节点（x此时必没有右孩子）
3.整体反转（从x开始）这条实链

4.findroot

寻找该节点的splay树的根节点

1.对x进行access。
2.伸展x至根节点（此时x的根节点在当前树的最左端）
3.向左递归至最低
4.伸展该节点至根节点（防止数据卡链）
5.返回该节点

5.link

将x，y进行连边（操作1）

1.对x进行mkroot。
2.判断y的splay树的根节点是否为x，如果是直接return
3.将x的fa节点指向（建立虚边）

6.cut

对x，y进行断边（操作2）

1.对x进行mkroot。
2.如果x，y不在一个树上，或者是x，y不是挨着的，直接return
3.断双向边

7.split

把x，y的路径拆出来

1.对x进行mkroot
2.对y进行access
3.对y进行splay

经过这些操作，我们发现，y此时是根结点，且y没有右孩子，左孩子是x，此时就可以访问有关y的任何操作了。

至此基本思路讲完（真的醉了）。

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