Leetcode 688: 骑士在棋盘上的概率

Definition:

思路

由于刷题尹始对DP和DFS之类的问题还没有什么概念，看到题目第一想法就是直接正向求解，在使用递归实现基本问题的求解之后发现对于k较大的情形递归的方法就失效了，直接超时。后来在评论里面也看到不少老哥用递归超时的，其实思路很简单，但是就是无法AC。
对于每一个起始位置，我们可以通过计算在下一步有多少种可能的走法，找出下一步所有可能的位置以及对应的概率之后，不断向后迭代，最终只留下了能够不离开棋盘的所有步数对应的概率，求和即可得到最终的结果，代码如下

class Solution:def possible_position(self, n: int, row: int, col:int):positions = []if row - 2 >= 0:if col - 1 >= 0:positions.append((row - 2, col - 1))if col + 1 < n:positions.append((row - 2, col + 1))if row - 1 >= 0:if col - 2 >= 0:positions.append((row - 1, col - 2))if col + 2 < n:positions.append((row - 1, col + 2))if row + 1 < n:if col - 2 >= 0:positions.append((row + 1, col - 2))if col + 2 < n:positions.append((row + 1, col + 2))if row + 2 < n:if col - 1 >= 0:positions.append((row + 2, col - 1))if col + 1 < n:positions.append((row + 2, col + 1))return positionsdef knightProbability(self, n: int, k: int, row: int, column: int) -> float:possible_pos = self.possible_position(n, row, column)possibility = len(possible_pos) / 8if k == 0 and (0 <= row < n) and (0 <= column < n):return 1if k == 1:return possibilitycandidates = []for pos in possible_pos:if not ((0 <= row < n) or (0 <= column < n)):continuecandidates.append(possibility * (1 / len(possible_pos)) * self.knightProbability(n, k - 1, pos[0], pos[1]))return sum(candidates)

以上是使用递归进行求解的代码实现，该方法在实际运行时存在超时的问题。在阅读官方题解之后，了解了什么是动态规划并对官方给出的代码进行了理解，下面是其给出的解题方法：

class Solution:def knightProbability(self, n: int, k: int, row: int, column: int) -> float:dp = [[[0] * n for _ in range(n)] for _ in range(k + 1)]for step in range(k + 1):for i in range(n):for j in range(n):if step == 0:dp[step][i][j] = 1else:for di, dj in ((-2, -1), (-2, 1), (-1, -2), (-1, 2), (1, -2), (1, 2), (2, -1), (2, 1)):ni, nj = i + di, j + djif 0 <= ni < n and 0 <= nj < n:dp[step][i][j] += dp[step - 1][ni][nj] / 8return dp[k][row][column]

可以看到，使用动态规划的方法思路非常简洁。使用一个三维数组，第一个维度是channel（也就是step）维度，另外两个维度对应棋盘的行和列。这里其实使用了逆向思维，因为正向推理的过程中可能性非常多，但是反过来考虑的话，如果到了最后一步（k=0）骑士仍旧在棋盘上（此时概率为1，因为没有了后续步骤，骑士已经固定在棋盘上），那么就可以推理在k=1时其在棋盘上的可能位置并计算在对应位置的概率（例如在k=0时骑士在棋盘上的 ( r o w , c o l u m n ) (row,column) (row,column)位置，那么在上一步中其可能存在的位置是可以计算的，即 d p [ s t e p − 1 ] [ r o w + d i ] [ c o l u m n + d j ] dp[step - 1][row + di][column + dj] dp[step−1][row+di][column+dj]），通过反向求解概率直到求得step=k时，便可获得最终结果。

题后反思

本题在题目设置上的技巧在于棋盘格的大小n是固定的，这也就决定了在使用动态规划时状态变量的个数是固定的，因此通过这种反向求解的思路效率较高。值得一提的是，由于当前的状态仅仅与上一步状态有关，因此状态数组的实际大小可以设置为size = (2, n, n) 通过滚动迭代的方式进一步节省空间开销。

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