前言

关于MIMO空间相关信道的生成，《MIMO-OFDM wireless communications with MATLAB》中给出了“complex correlation”和“power (field) correlation”两种方式（P89），之前就没有理解两者的区别。
今天在进行5G NR空间相关信道仿真时又遇到了这一问题，这里进行记录和讨论。

5G NR空间相关信道仿真

一、 Kronecker相关信道模型

Hcorr=Rr1/2HiidRt1/2(1)\mathbf{H}_{\rm corr}=\mathbf{R}_r^{1/2}\mathbf{H}_{\rm iid}\mathbf{R}_t^{1/2} \tag1Hcorr=Rr1/2HiidRt1/2(1)
其中Rr\mathbf{R}_rRr和Rt\mathbf{R}_tRt分别表示接收和发送天线间的相关性，使用指数相关模型生成（以下均考虑此模型生成的实对称相关矩阵），其各元素ri,jr_{i,j}ri,j由下式给出
ri,j={ρj−i,i≤jrj,i∗,i>j,r_{i,j}=\left\{ \begin{array}{ll} \rho^{j-i},& i\leq j\\ r_{j,i}^{\ast},&i>j \end{array}\right., ri,j={ρj−i,rj,i∗,i≤ji>j,
其中，ρ\rhoρ是天线间相关系数。Rr1/2\mathbf{R}_r^{1/2}Rr1/2和Rt1/2\mathbf{R}_t^{1/2}Rt1/2表示矩阵收发相关矩阵的平方根分解。

二、生成方式1

1.公式

直接按Kronecker相关信道模型的公式实现

2.MATLAB代码

nr = 2; nt = 2;
rho_r = 0.3; rho_t = 0.3;
rr = toeplitz((rho_r*ones(1,nr)).^(0:(nr-1)));
rt = toeplitz((rho_t*ones(1,nt)).^(0:(nt-1)));
hiid = randn(nr, nt);
hcorr = sqrtm(rr)*hiid*sqrtm(rt);

三、生成方式2-complex correlation

1.公式

首先计算Rr\mathbf{R}_rRr和Rt\mathbf{R}_tRt的Kronecker积
R=Rt⊗Rr\mathbf{R}=\mathbf{R}_t \otimes \mathbf{R}_r R=Rt⊗Rr
对R\mathbf{R}R做平方根分解（C2=R\mathbf{C}^2=\mathbf{R}C2=R），即
C=R1/2=(Rt⊗Rr)1/2(2)\mathbf{C}=\mathbf{R}^{1/2}=(\mathbf{R}_t \otimes \mathbf{R}_r)^{1/2} \tag2 C=R1/2=(Rt⊗Rr)1/2(2)
最终生成的相关信道矩阵满足：
vec(Hcorr)=Cvec(Hiid)(3){\rm vec}(\mathbf{H}_{\rm corr}) = \mathbf{C}{\rm vec}(\mathbf{H}_{\rm iid})\tag3 vec(Hcorr)=Cvec(Hiid)(3)
利用⊗\otimes⊗和vec(⋅)\rm vec(\cdot)vec(⋅)运算符的性质
vec(AXB)=(BT⊗A)vec(X)(A⊗B)1/2=A1/2⊗B1/2(待确认)\begin{aligned} {\rm vec}(\mathbf{AXB})&=(\mathbf{B}^{T}\otimes\mathbf{A}){\rm vec}(\mathbf{X})\\ (\mathbf{A}\otimes\mathbf{B})^{1/2}&=\mathbf{A}^{1/2}\otimes\mathbf{B}^{1/2}(待确认) \end{aligned} vec(AXB)(A⊗B)1/2=(BT⊗A)vec(X)=A1/2⊗B1/2(待确认)
同时将(2)(2)(2)代入(3)(3)(3)，可以得到
vec(Hcorr)=(Rt⊗Rr)1/2vec(Hiid)=vec(Rr1/2HiidRtT/2)=vec(Rr1/2HiidRt1/2)\begin{aligned} {\rm vec}(\mathbf{H}_{\rm corr}) &= (\mathbf{R}_t \otimes \mathbf{R}_r)^{1/2} {\rm vec}(\mathbf{H}_{\rm iid})\\ &={\rm vec}(\mathbf{R}_r^{1/2}\mathbf{H}_{\rm iid}\mathbf{R}_t^{T/2})\\ &={\rm vec}(\mathbf{R}_r^{1/2}\mathbf{H}_{\rm iid}\mathbf{R}_t^{1/2}) \end{aligned} vec(Hcorr)=(Rt⊗Rr)1/2vec(Hiid)=vec(Rr1/2HiidRtT/2)=vec(Rr1/2HiidRt1/2)
其中利用了Rt\mathbf{R}_tRt对称的性质。由此即导出了(1)(1)(1)的Kronecker模型。

注：也有文章中给出方案为，将以上操作中的平方根分解替换为cholesky分解，即有
CTC=Rvec(Hcorr)=CTvec(Hiid)\begin{aligned} \mathbf{C}^{T}\mathbf{C}&=\mathbf{R}\\ {\rm vec}(\mathbf{H}_{\rm corr}) &= \mathbf{C}^{T}{\rm vec}(\mathbf{H}_{\rm iid}) \end{aligned} CTCvec(Hcorr)=R=CTvec(Hiid)
其中C\mathbf{C}C是主对角元恒正的上三角矩阵。将C\mathbf{C}C记作chol(R){\rm chol}(\mathbf{R})chol(R)，将(2)(2)(2)代入可以得到
CT=[chol(Rt)⊗chol(Rr)]T=chol(Rt)T⊗chol(Rr)T\begin{aligned} \mathbf{C}^{T}&=[{\rm chol}(\mathbf{R}_t)\otimes{\rm chol}(\mathbf{R}_r)]^{T}\\ &={\rm chol}(\mathbf{R}_t)^{T}\otimes{\rm chol}(\mathbf{R}_r)^{T} \end{aligned} CT=[chol(Rt)⊗chol(Rr)]T=chol(Rt)T⊗chol(Rr)T
故
CTvec(Hiid)=[chol(Rt)T⊗chol(Rr)T]vec(Hiid)=vec(chol(Rr)THiidchol(Rt))\begin{aligned} \mathbf{C}^{T}{\rm vec}(\mathbf{H}_{\rm iid}) &=[{\rm chol}(\mathbf{R}_t)^{T}\otimes{\rm chol}(\mathbf{R}_r)^{T}]{\rm vec}(\mathbf{H}_{\rm iid})\\ &={\rm vec}({\rm chol}(\mathbf{R}_r)^{T}\mathbf{H}_{\rm iid}{\rm chol}(\mathbf{R}_t)) \end{aligned} CTvec(Hiid)=[chol(Rt)T⊗chol(Rr)T]vec(Hiid)=vec(chol(Rr)THiidchol(Rt))
由此同样可以导出式(1)(1)(1)，只不过也是将平方根分解替换为cholesky分解。
需要注意的是，使用两种方式最终得到的分解结果和相关信道矩阵不同。

2.MATLAB代码

nr = 2; nt = 2;
rho_r = 0.3; rho_t = 0.3;
rr = toeplitz((rho_r*ones(1,nr)).^(0:(nr-1)));
rt = toeplitz((rho_t*ones(1,nt)).^(0:(nt-1)));
r = kron(rt, rr);
%% 平方根分解
c = sqrtm(r);
hcorr = reshape(c*hiid(:),nr,nt);
%% cholesky分解
c = chol(r)';
hcorr = reshape(c*hiid(:),nr,nt);
% 对应的生成方式1为：
% hcorr = chol(rr).'*hiid*chol(rt);

四、生成方式三-power (field) correlation

1.公式

从《MIMO-OFDM wireless communications with MATLAB》给出的代码来看，power (field) correlation相当于将相关矩阵的量纲视作功率，与生成方式2唯一的不同是式(2)(2)(2)变为
C=(Rt⊗Rr)1/2\mathbf{C}=(\sqrt{\mathbf{R}_t \otimes \mathbf{R}_r})^{1/2} C=(Rt⊗Rr)1/2

2.MATLAB代码

c = sqrtm(sqrt(kron(rt, rr))); % 其余与生成方式2代码相同

总结

尚未解决的问题：

何时使用平方根分解，何时使用cholesky分解
以上公式推导中待确认的部分

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【MIMO】两种空间相关信道生成方式的记录（公式+MATLAB代码）

文章目录

前言

一、 Kronecker相关信道模型

二、生成方式1

1.公式

2.MATLAB代码

三、生成方式2-complex correlation

1.公式

2.MATLAB代码

四、生成方式三-power (field) correlation

1.公式

2.MATLAB代码

总结

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