基本概念的理解与讨论

简单理解与讨论

大多数的回答来源于各大网友的一些理解与评论，有问题还请各位大咖纠正。

1. 导数、偏导数关系（此外：梯度，法向量，方向余弦）

定义见教材:

在函数定义域的内点，对某一方向求导得到的导数。方向导数可分为沿直线方向和沿曲线方向的方向导数。向导数可用偏导数表示。
       方向导数（directional derivative）的通俗解释是：我们不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其他特定方向上的变化率。而方向导数就是函数在其他特定方向上的变化率。
       一个点的方向导数是指各个方向的方向导数。那么沿任何方向的方向导数存在能否推出偏导数存在呢？——答案是不能的
       方向导数存在只能推出沿各坐标轴（例如度x轴）方向的方向导数存在，但倘若沿x轴正半轴方向的方向导数与沿x轴负半轴方向的方向导数不是相反数的话，那么关于x的偏导数就不存在。
       这就类似于一元函数在某点的左右导数都存在，不等于在该点的导数存在。如Y=|X|，在原点O处的方向导数是存在的，左方向导数是-1，右方向导数是1，但是0处的偏导数是不存在的，在空间知上来说，偏导数存在的话，那道个点在那个方向上的切线是存在的，但是方向导数存在，只能说明那条射线是存在的。类似于某点左极限容和右极限与极限的关系。
       在方向导数的定义中那个ρ的范围是大于等于零，而偏导的话Δx可正可负

因为方向导数是单向的也就是说是一条射线，偏导数是直线。
       举个例子，圆锥的尖部，任意方向的方向导数都存在，但是偏导数不存在。
       一元可导即可微，就二元来说，偏导存在不一定可微,偏导连续才可微。
       偏导数：函数在某点处延坐标轴正向，随着该自变量的变化，而引起的函数值的变化率。
       方向导数：函数在某点的任一方向上，随着该自变量的变化，而引起的函数值的变化率。
       因此它们的区别主要如下：
       1、偏导数只是延坐标轴方向，而方向导数的方向任意；
       2、那么是不是当我们延着坐标轴方向求方向导数时，结果会与偏导数一样呢？我们看到如果是求“延着坐标轴正向”的方向求方向导数，与偏导数是一样的；如果是求“延着坐标轴负答向”的方向求方向导数，结果与偏导数差一个负号。
       方向导数是在某一方向上，对(末函数值-初函数值)/(长度专)取极限，反映的是沿某一方向的函数变化率。对x的偏导数是在y=C这些平面上，对(末函数值-初函数值)/(末自变量-初自变量)取极限，反映的是沿x轴正向的函数变化率。
       偏导数的本质就是一元函数的导数（比如，固定Y，求X的偏导数）。基于这个观点，一元函数的导数有3种。（左导数，右导数，导数），导数存在的条件是：左导数和右导数都存在且相等。对此，大家思考一下：左导数是不是就是一个方向导数，右导数是不是另一个方向导数呢？
       左导数和右导数皆存在，但是导数不存在。（左导数≠右导数）；对此，进行概念上的延伸：方向导数存在，但是方向为