输出青蛙跳台所有路径

常见的一道算法题：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

解法我想很多人一想应该就知道，可以递归的思路，动态规划的思路等，代码如下，重点不在这里，不在详述：

//递归
public static int frogJumps_1(int n) {if(n==0) return 1;if(n==1) return 1;return frogJumps_1(n-1) + frogJumps_1(n-2);
}

//带备忘录的递归
public static int frogJumps_2(int n) {int[] memo = new int[n+1];return helper(n, memo);}private static int helper(int n, int[] memo) {if(n==0) return 1;if(n==1) return 1;if(memo[n]!=0)return memo[n];memo[n] = frogJumps_2(n-1) + frogJumps_2(n-2);return memo[n];}

//dp,貌似也算不上dp问题，没有求最值
public static int frogJumps_3(int n) {int[] dp = new int[n+1];dp[0] = 1;dp[1] = 1;for(int i=2; i<dp.length; i++) {dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];}return dp[n];}

但是前几天遇到一个问题，要打印出青蛙跳台所有的可能路径，例如：

输入 ：n = 3
输出 ：1111221

网上没有找到相关解法，目前想了个算法打印出所有路径，不一定是最好的，有更好的欢迎指正。思路如下：

若求f(n)，画出递归树的时候，这就是一个二叉树，而二叉树的从下到上的所有路径就是青蛙跳台的所有可能路径，并且如果左子树是f(n-1)，右子树是f(n-2)，那么从左子树走到顶点就是走一步，从右子树走到顶点就是走两步。

所以算法步骤如下，通过dp数组构造一个二叉树，然后打印二叉树的所有路径即可输出青蛙跳台的所有可能路径。

代码如下：

public static int frogJumps_4(int n) {Node[] dp = new Node[n+1];dp[0] = new Node(1, null, null);dp[1] = new Node(1, dp[0], null);for(int i=2; i<dp.length; i++) {dp[i] = new Node(dp[i-1].val + dp[i-2].val, dp[i-1], dp[i-2]);}//打印出二叉数所有路径printTree(dp[n], n);return dp[n].val;}private static void printTree(Node root, int n) {int[] path = new int[n+1];printPath(root, path, 0, 0);}private static void printPath(Node node, int[] path, int n, int pos) {if(node==null) return;path[n++] = pos;if(node.left==null && node.right==null) {for (int i = 1; i < n; i++)System.out.print(path[i]);System.out.println();} else {printPath(node.left, path, n, 1);printPath(node.right, path, n, 2);}}private static class Node {int val;Node left;Node right;public Node(int val, Node left, Node right) {this.val = val;this.left = left;this.right = right;}}

还有个青蛙跳台变形的题，说青蛙不是只可以跳一步和两步，可以跳任意步到达终点，如果问有多少种方式，其实推导出来就是f(n)=2f(n-1)，照着上面代码写就好了，很简单。

如果也让打印出所有路径，例如：

输入 ：n = 3
输出 ：11112213

按目前思路可能就处理更复杂了，要用到多叉树，然后打印出多叉树的所有路径，代码如下：

public static int frogJumps_5(int n) {Node1[] dp = new Node1[n+1];dp[0] = new Node1(1, 0);dp[1] = new Node1(1, 1);dp[1].add(dp[0], 0);for(int i=2; i<dp.length; i++) {dp[i] = new Node1( 2 * dp[i-1].val, i);for(int j=i-1; j>=0; j--) {dp[i].add(dp[j], i-1-j);}}//打印出二叉数所有路径printMultiTree(dp[n], n);return dp[n].val;}private static void printMultiTree(Node1 root, int n) {int[] path = new int[n+1];printMultiPath(root, path, 0, 0);}private static void printMultiPath(Node1 node, int[] path, int n, int pos) {if(node==null) return;path[n++] = pos;if(node.nodes.length==0) {for (int i = 1; i < n; i++)System.out.print(path[i]);System.out.println();} else {for(int i=0; i<node.nodes.length; i++) {printMultiPath(node.nodes[i], path, n, i+1);}}}private static class Node1 {int val;Node1[] nodes;public Node1(int val, int n) {this.val = val;nodes = new Node1[n];}public void add(Node1 node, int index) {nodes[index] = node;}}

全部代码如下：

public class MaximumFrogJumps {public static void maximumFrogJumps(int n) {//暴力解法System.out.println(frogJumps_1(n));//添加备忘录System.out.println(frogJumps_2(n));//dpSystem.out.println(frogJumps_3(n));//打印路路径System.out.println(frogJumps_4(n));//打印路路径System.out.println(frogJumps_5(n));}public static int frogJumps_1(int n) {if(n==0) return 1;if(n==1) return 1;return frogJumps_1(n-1) + frogJumps_1(n-2);}public static int frogJumps_2(int n) {int[] memo = new int[n+1];return helper(n, memo);}private static int helper(int n, int[] memo) {if(n==0) return 1;if(n==1) return 1;if(memo[n]!=0)return memo[n];memo[n] = frogJumps_2(n-1) + frogJumps_2(n-2);return memo[n];}public static int frogJumps_3(int n) {int[] dp = new int[n+1];dp[0] = 1;dp[1] = 1;for(int i=2; i<dp.length; i++) {dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];}return dp[n];}public static int frogJumps_4(int n) {Node[] dp = new Node[n+1];dp[0] = new Node(1, null, null);dp[1] = new Node(1, dp[0], null);for(int i=2; i<dp.length; i++) {dp[i] = new Node(dp[i-1].val + dp[i-2].val, dp[i-1], dp[i-2]);}//打印出二叉数所有路径printTree(dp[n], n);return dp[n].val;}private static void printTree(Node root, int n) {int[] path = new int[n+1];printPath(root, path, 0, 0);}private static void printPath(Node node, int[] path, int n, int pos) {if(node==null) return;path[n++] = pos;if(node.left==null && node.right==null) {for (int i = 1; i < n; i++)System.out.print(path[i]);System.out.println();} else {printPath(node.left, path, n, 1);printPath(node.right, path, n, 2);}}private static class Node {int val;Node left;Node right;public Node(int val, Node left, Node right) {this.val = val;this.left = left;this.right = right;}}public static int frogJumps_5(int n) {Node1[] dp = new Node1[n+1];dp[0] = new Node1(1, 0);dp[1] = new Node1(1, 1);dp[1].add(dp[0], 0);for(int i=2; i<dp.length; i++) {dp[i] = new Node1( 2 * dp[i-1].val, i);for(int j=i-1; j>=0; j--) {dp[i].add(dp[j], i-1-j);}}//打印出二叉数所有路径printMultiTree(dp[n], n);return dp[n].val;}private static void printMultiTree(Node1 root, int n) {int[] path = new int[n+1];printMultiPath(root, path, 0, 0);}private static void printMultiPath(Node1 node, int[] path, int n, int pos) {if(node==null) return;path[n++] = pos;if(node.nodes.length==0) {for (int i = 1; i < n; i++)System.out.print(path[i]);System.out.println();} else {for(int i=0; i<node.nodes.length; i++) {printMultiPath(node.nodes[i], path, n, i+1);}}}private static class Node1 {int val;Node1[] nodes;public Node1(int val, int n) {this.val = val;nodes = new Node1[n];}public void add(Node1 node, int index) {nodes[index] = node;}}
}

输入3运行结果如下：

============================================
2020.05.14 更新
今天学习了回溯算法，发现这个题回溯算法解也太简单了，唉…

 //跳一步或者两步private static void frogJumps_6(int n) {LinkedList<Integer> res = new LinkedList<Integer>();int[] nums = new int[]{1, 2};backtrack(nums, n, res);}//跳任意步private static void frogJumps_7(int n) {LinkedList<Integer> res = new LinkedList<Integer>();int[] nums = new int[n];for(int i=0; i<nums.length; i++) {nums[i] = i+1;}backtrack(nums, n, res);}private static void backtrack(int[] nums, int n, LinkedList<Integer> res) {if(n==0) {System.out.println(res);return;}if(n<0)return;for(int i=0; i<nums.length; i++) {res.add(nums[i]);backtrack(nums, n-nums[i], res);res.removeLast();}}

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