问题

尝试对于隐函数方程形如

x2+2y2+3z2+xy+yz−2xz=5(1)

x^2 + 2 y^2 + 3 z^2 + x y + y z - 2 xz = 5\tag{1}
的椭球面，向 xoyxoy坐标平面投影，求所得到的投影轮廓线的方程及所包围的投影区域的面积(解析解）。

解法

线索：

1.对隐函数方程(1)求(x,y,z)(x,y,z)点处的梯度，得到的是该点处椭球面的切平面法向量。

(2x+y−2z,x+4y+z,−2x+y+6z)T

\left(\quad 2 x + y - 2 z, \quad x + 4 y + z, \quad -2 x + y + 6 z\quad\right)^T
2.椭球面上投影为投影区域轮廓线的点处切平面的法向量跟投影方向向量刚好是正交的。

xoyxoy 平面的单位法向量(0,0,1)T(0,0,1)^T，从而投影为投影区域轮廓线的椭球面上的点，满足：

−2x+y+6z=0(2)

-2 x + y + 6 z=0\tag{2}

从而得到联立 (1),(2)(1),\;(2) 的方程组。容易消去 zz 得到投影轮廓线所在投影柱面的方程，这个方程也是xoyxoy 平面上的投影区域轮廓线方程：

60=8x2+23y2−16xy(3)

60= 8 x^2 + 23 y^2 - 16 x y\tag{3}

令 x=ρcost,y=ρsintx=\rho \cos t,\;y=\rho \sin t,，代入(3)(3)可以得到椭圆轮廓线的极坐标方程：

ρ(t)=215−−√23sin2t+8cos2t+16sintcost−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√t∈[0,2π](4)

\rho(t)=\frac{2 \sqrt{15}}{\sqrt{23 \sin ^2t+8 \cos ^2t+16 \sin t\cos t}}\quad t\in [0,2\pi]\tag{4}

使用Green定理可以求出投影区域的面积

30−−√π

\sqrt{30} \pi

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