判别模型求的是条件概率p(y|x)，

生成模型求的是联合概率p(x,y)  .即 = p(x|y) ? p(y) 常见的判别模型有线性回归、对数回归、线性判别分析、支持向量机、boosting、条件 随机场、神经网络等。

常见的生产模型有隐马尔科夫模型、朴素贝叶斯模型、高斯混合模型、LDA、Restricted

Boltzmann Machine等。

所以这里说的高斯混合模型，朴素贝叶斯模型都是求p(x,y)联合概率的。(下面推导会见原因)

套路小结： 凡是生产模型，目的都是求出联合概率表达式，然后对联合概率表达式里的各个参数再进行估计，求出其表达式。

下面的EM算法，GMM等三个模型都是做这同一件事：设法求出联合概率，然后对出现的参数进行估计。

一、EM算法：

作用是进行参数估计。

应用：(因为是无监督，所以一般应用在聚类上，也用在HMM参数估计上)所以凡是有EM算法的，一定是无监督学习.因为EM是对参数聚集

给定训练样本是

 样例独立，

我们想要知道每个样例隐含的类别z，使是p(x,z)最大，(即 如果将样本x(i)看作观察值，

潜在类别z看作是隐藏变量， 则x可能是类别z， 那么聚类问题也就是参数估计问题，)

故p(x,z)最大似然估计是：

所以可见用到EM算法的模型(高斯混合模型，朴素贝叶斯模型)都是求p(x,y)联合概率，为生成模型。

对上面公式，直接求θ一般比较困难，因为有隐藏变量z存在，但是一般确定了z后，求解就容易了。

EM是一种解决存在隐含变量优化问题的有效方法。竟然不能直接最大化?(θ)，我们可建立?的下界(E步)，再优化下界(M步)，见下图第三步，取的就是下界

 (总式)

解释上式：

对于每一个样例 i，让Qi表示该样例隐含变量 z

的某种分布，Qi满足的条件是 (如果 z 是连续性的，那么Qi是概率密度函数(因子分析模型就是如此)，需要将求和符号换成积分符号即：因子分析模型是如此，这个会用在EM算法的M步求。

比如要将班上学生聚类，假设隐藏变量z是身高，那么就是连续的高斯分布。

如果按照隐藏变量是男女，那么就是伯努利分布(即两点分布：

)了。

上总式第1到第2步是分子分母同乘一个数，

第2到3步是：用了jasen不等式：

 (凸函数图形上表示反为凹函数，记住。)

如图：

 。因为第2步log是凹函数

：

，所以f(E(x)) >=

E[f(x)].这样就完成了第3步(详情见对应讲义。)

至此推导完上面3步公式，下面所有模型都是对上面第3步公式进行参数估计的！！！

下面 对第三步的Q(z)进行推导：

(见讲义)

所以Q(Z)最终表示： ，其中z只受参数θ影响。

所以EM算法：

(承上启下：在m步中，最终是对参数θ进行估计，而这一步具体到高斯混合模型，则θ有三个参数：mu,phi,sigma代替，即高斯混合模型要推导三个参数，下面会讲)

至此，这就是EM算法所有推导，EM算法推导也只能推导这些步，具体再将这些公式推导下去，就要结合模型了。

总结：

如果将样本看作观察值， 潜在类别看作是隐藏变量，

那么聚类问题也就是参数估计问题，只不过聚类问题中参数分为隐含类别变量和其他参数。

对应到EM上，E步估计隐含变量，M步估计其他参数，交替将极值推向最大。

例子：在Mitchell的Machine

Learning书中也举了一个EM应用的例子，将班上学生的身高都放在一起，要求聚成两个类。这些身高可以看作是男生身高的高斯分布和女生

身高的高斯分布组成。因此变成了如何估计每个样例是男生还是女生，然后在确定男女生情

况下，如何估计均值和方差，里面也给出了公式。

二、混合高斯模型：

将EM算法融到高斯混合模型，将上面EM算法的E步、M步的公式再具体推导下去。

整个模型简单描述为：

对于每个样例

，我们先从k个类别中按多项式分布抽取一个

，

然后根据

所对应的

k 个多值高斯分布中的一个，生成样例

，整个过程称作混合高斯模型。

(即对样例x， 最终目的是生成样例x。(？？)即对样例x，从k个类别抽取一个z,从根据z生成x。)

特别地，混合高斯模型的

(1)隐含类别标签

 ，被认为满足多项式分布，即

 (这里

只受?参数(即phi)影响)

(2)样例

被认为满足 高斯分布，即

 (所以μ和Σ分别为样例x的均值和协方差)

补充：

服从的多项式分布概率公式为：，即类似C(n,x)*p6^x*(1-p6)^(n-x)

类型

所以 上面(1)(2)可知混合高斯模型中，这里的

仍是隐含随机变量。模型细化多了三个变量?，μ和Σ。(即是phi,mu,sigma).

其中?j就是样本类别中

 =

j的比率。μj是类别为 j 的样本特征均值，Σj是类别为 j

的样例的特征的协方差矩阵(Σj是一个矩阵！！)。

所以由上面(1)(2)合并得，最大似然估计p(x,

z)，对数化后如下：

 

(对比一、EM算法里的总式：

，只是参数θ由原化成三个?，μ和Σ)

注意第二步有两个迭加号。第二个迭加号是z(i)=1

直到k个类别。z只有k个类别。

参考一、中EM算法推导：

所以混合高斯模型：

从EM算法步骤的

 变成：

 (其中M步三个参数的右边公式在下面会进行推导。这里直接先给出参数结果。)

1. E步： 每个样例i的隐含类别z(i)为j的概率

可以通过条件概率计算得到。即

 (E)

(这里贝叶斯公式，分子是z=j一种类别情况，分母是z={1~k}k中类别的累加)

1)对上式的分子第一项：

(由上面加黄色背景段文字可知)服从高斯分布：

，

故

 =  。(其中Σ即是

)

2)对(E)式分子第二项(又上面可知)

服从 多项式分布：

所以分子直接代入即可，所以

 可以求得。

2.M步：

先给出最终结果为:

 ,推导如下：

先看EM算法的M步：

 (M)

下面对三个参数phi,mu,sigma(?，μ和Σ)分别进行求导:

(i)对μi

求导得(固定i，Σi):

(据Ng说求的过程不重要？)等于0时所得

(ii)对i求导(固定μi，Σi)：

推导过程用了SVM中的拉格朗日乘子方法：

因为?i是

隐性随机变量z的多项式分布概率值，又有约束条件

又由上面(M)步公式：

(why?????)

所以联合上两式，直接构成拉格朗日乘子：

，

(iii)Σ的推导：

也类似，不过稍微复杂一些，毕竟是矩阵。结果在之前的混合高斯模型中已经给出。

3.迭代：对上面E,M步进行迭代，最后一定会收敛(证明见讲义)

如图，最终收敛成2个类，这里的样例收敛于椭圆，原因是高斯分布的二维几何图形是一个椭圆，(具体几何图形见下面因子分析，有详解)

拓展：

混合高斯模型GMM与K-means比较：

相同点：都是可用于聚类的算法；都需要指定K值。

不同点：对GMM来说，引入了概率；GMM可以给出一个样本属于某类的概率是多少。所以高斯混合模型既可以做聚类，也可做概率密度估计

三、混合朴素贝叶斯模型

混合高斯的例子：文本聚类:

要对一系列的文本聚类成若干主题。(用svm写文本分类是最好的)

news.google.com就是文本聚类一个应用

怎样在文本新闻问题用到EM算法呢?

----->混合朴素贝叶斯模型。混合朴素贝叶斯模型有2个：多值伯努利事件模型(文本聚类就是用此)；多项式事件模型。

模型描述为：

给定m个样本的训练集合是

 ，

每个文本

属于(0,1)^n。即每个文本是n维

0或1的向量。

故

=

{ wordj 是否出现在文本i 里}

我们要对

(值是0或1)

进行建模，

是隐含随机变量，这里取两个值：2个聚类。

所以对混合贝叶斯模型，假设  服从参数有伯努利分布(两点分布)，即：

 图中x换成即可)。

故每个文本按某概率属于聚类1或者聚类2

同高斯混合模型，混合贝叶斯模型的联合概率是：

又  由贝叶斯公式可知：

p(

|

)

= p(

| )

(i)

p(

 =

1 |

 =

0)  =  (ii)

把上面的z全部换成y,就得到常见的朴素贝叶斯公式：

 一般会前面两个等式右边的x=1，或省去=1，即写成i|y=1

= p(xi | y =1)  i|y=0

= p(xi | y =0) ,默认x取了1

其中p(y=1)表示类别1(例如类别1表示垃圾邮件)的在所有文本的概率。这里xi表示一个单词，取值只有0或者1，表示出现在文本里或者没有出现。

EM算法步骤：

1.E步：

 这里三个参数phi,mu,sigma,改成

，

，与?j|z

将上面(i)(ii)式带入即可求得

2.M步：

对比贝叶斯原公式：

=

这里Wi表示文本来自于类1，分子Σ表示：类1且包含词j的文档个数，分布表示类1的文档总数。所以全式表示：类1包含词j的比率。

EM算法不能做出绝对的假设0或者1，所以只能用Wi表示，最终Wi的值会靠近0或1，在数值上与0或1无分别。

=

(分子的横斜是多余的，忽略)

全式表示：类0包含词j的比率

j|z = 

3.迭代上面12步骤，收敛，求出参数估计，带回联合概率，将联合概率排序，由联合概率最高值

，可得知哪个文本是输入哪个类了。