图灵机2：等价变形+算法定义

一些形式的图灵机：双向无穷、多维带（带子是平面）、多个带子、一个带上多个读写头，非确定性图灵机等。这些变形是等价的，即在能力上具有等价性：可以识别相同的语言类。因而：图灵机具有稳健性。

下面分别证明：单带图灵机和多带图灵机以及非确定性图灵机等价。

1：多带图灵机的定义

特点：

1：有多个带子，每个带子有自己的读写头。 2：初始状态时：输入只出现在第一条带子，其他带子都是空白。（因此：第一个带子带头必须位于最左端，其他带子的带头可以在任意位置）

多带图灵机的转移函数（ $\delta$ ）：

这里的k是带子的数量

指的是：当前处于状态 $q_{i}$ ,读写头1到k分别指向符号 $a_{1}$ ,..., $a_{k}$ ,这时转移到下一状态 $q_{j}$ 时，把符号写成 $b_{1}$ ,..., $b_{k}$ ,且把每个带子的读写头移动到左,....,右。

2：多带图灵机与单带图灵机等价

显然，单带图灵机是特殊的多带图灵机，下面证明：多带图灵机能识别的语言，单带图灵机也能识别。

定理：每个多带图灵机都有与之等价的单带图灵机。

单带TM模拟多带TM有两种方法：①：“分道”：每道模拟一个带（改变字母表）②：每段模拟一条带，这里采用第二种方法。

用单带s模拟多带m:

1:不同带子之间用#分开，在首尾两端也用#号（k个带子需要k+1个#号）

2:s上的点叫“虚拟读写头”，也就是做特殊标志，记住多带m每个带子读写头所指位置。

3:如果多带写新符号，则s对应位置后的内容整体右移。

具体实现：

S=“对于输入w= $w_{1}....w_{n}$ : 1):S在自己的带子上放入：# $w_{1}^{\star }w_{2}...w_{n}$ # $B^{\star }$ #....# ,此格式表示了M全部带子的内容

2):为了模拟一步移动，S从第一个#号扫描直到最后一个#，目的是为了确定虚拟读写头下的符号。（这一次扫描是记住每一个带子的带头符号）然后S进行第二次扫描，并根据M的转移函数指示的运行方式来更新带子。（这是对每一个读写头的改写和带头移动的步骤）

3):任何时候，S的虚拟读写头向右移动到某个#号时，就把这个位置的符号写成B，然后把这个位置已右的所有内容向右平移一格，然后继续模拟。（如果一个带子读写头移动到空白位置，则有写新符号的可能，此时要把其他以右的内容右移一格，空出写新符号的位置） ”

这是一个构造性证明，正确性证明略（即：一个串，s接受m接受；s拒绝m拒绝）

推论：图灵可识别iff多带图灵机可识别 一般：描述问题喜欢用多带图灵机，证明性质喜欢用单带图灵机

2：非确定性图灵机（NTM）

特点：在计算的任何时刻，机器可以在多种可能性中去选择一种继续进行。

状态转移描述：P:幂集（所以子集的并），S：停止不动

格局间的转换可以用计算树描述。

1：停机接受，2：停机拒绝，?:可能永不停机（不确定）这里：每个结点表示一个格局，每个树枝表示当前格局可以转换下一格局的不同可能。

定理：每个NTM都有一个与之等价的确定性TM.

1： NTM只要有一个分支可以接受此语言就说NTM可接收，所有分支都不能接收，才说不可计算

2： NTM遍历一般选用广度搜索，因为深度搜索会导致某一分支永不停机从而进入死循环。

用多带图灵机TM D模拟非确定性图灵机NTM N

输入带：单独作为一条带是因为每次模拟一个分支都需要读输入字符串。模拟带：用于模拟NTM的一个计算分支，存放N的带子中的内容。地址带：又叫路径带，告诉当前结点要选择的子结点，相当于确定分支（如：地址231，根节点出发寻找第二个子结点，再走第三个子结点，最后选择第一个子结点。）

采用轮换方式，每个格局模拟几步后，重新选择路径，以防选择的分支永不停机。

pf:用DTM D模拟NTM N. D="对输入w: ① 初始状态，第一个带子包含w，另外两个带子为空。

② 把输入带内容复制到模拟带上。（准备在此模拟各分支）

③ 在第二个带子上模拟N在输入w上的某个非确定性的计算分支，这个分支由第三个带子的地址指定。若遇到接收格局则接收，否则进入第四步。

④ 在第三个带子上，用字典序（类似哈弗曼编码树，左小右大，先短再长）下的下一个串来代替原用的串，转到第二步。 "（遍历所有可能就相当于由非确定转为确定）

推论：图灵可识别当且仅当非确定图灵机识别。图灵可判定当且仅当确定性图灵机判定

（所有分支都得要么接收，要么拒绝，不能永不停机）。

图灵机作为计算装置的工作方式： 1：识别器---输入x,输出0/1/?

2: 判定器---输入x,输出0/1(要么接受，要么拒绝)

3：转换器--输入x,输出y（输出不同串，一般作为转换函数）

4：产生器--输入 $0^{n}$ ,输出 $x_{n}$ (从串中截取)

5：枚举器--输入 $\varepsilon$ ，输出 $x_{1},x_{2},x_{3}...$ ,一般：无遗漏，无多余，可重复，无顺序（枚举一个语言）

TH：图灵可识别等价于图灵可枚举

（算法是直觉概念，图灵机是数学概念。由于基于经验是正确的，相当于物理中由实验总结的规律，故而称为论题）

图灵机算法的描述： 1：形式描述--七元组 2：实现描述--不给出状态和转移函数的细节，只描述数据的存放和读写头的移动。 3：高层描述--用日常语言描述算法，不考虑读写头和对带的管理。

图灵机的输入必须是串，如果不是就需要编码成串（如：图，文法，多项式）

编码的细节： 字符串： X=010,Y=11,=?

第一种：=001100101111(X和Y的各字符双写，再用01连接。读到两个连续不同符号就知道字符串结束了) ||=2|x|+2|y|+2

第二种：=11111001011(X和Y的符号直接相连，记录第一个串的字符串长度双写位于头部，然后用10连接) ||=|x|+|y|+2 $log^{|x|}$ +2

第三种：=111110010 =11001011 =11111001011001011（将x和y分别把自己长度位于首部用10连接，然后两个编码后的字符串直接相连) 解码方便

描述图灵机算法的的格式：带引号的锯齿状日常语言文字段 其中：第一行描述算法的输入（暗含了TM会首先检查输入的对象编码是否符合要求，否则拒绝）

:判定无向图的连通性

高层描述： M="输入的是图G的编码:(描述首先指明输入) 1：选择G的一个顶点，做上标记。

2：重复下列步骤，直到没有新的顶点可做标记。

3：对于G的每个顶点，如果它是带标记顶点的:邻接点，则给它做标记。

4：扫描G的所有顶点，如果都有标记则拒绝，否则接收。（判定依据） "

细节：

1：编码如右图，顶点集合与边 2：合法性检查：顶点序列不可重复，边序列不能包含不在顶点序列中的新节点。 3：步骤：①最左边顶点加个点②在一个已加点画个线做标记，再选任意一个未加点的的画个线，去边序列中寻找是否有两条线的边序列，有就将未加点的加个点③最后检查是否都加了点。

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